Упр.708 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = BC = | AA1. Найдите угол между прямыми: а) BD и CD1; б) AC и AC1.
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$, оси направим вдоль рёбер параллелепипеда. Пусть $$AB=BC=AA_1=a$$. Тогда координаты вершин можно задать так:
$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad C(a,a,0),\quad D(0,a,0),$$
$$A_1(0,0,a),\quad B_1(a,0,a),\quad C_1(a,a,a),\quad D_1(0,a,a).$$
Угол между прямыми найдём по углу между их направляющими векторами. Используем формулу:
$$\cos \varphi=\frac{\vec u\cdot \vec v}{|\vec u|\cdot |\vec v|}.$$
а) Для прямых $$BD$$ и $$CD_1$$ возьмём векторы
$$\vec{BD}=D-B=(-a,a,0),$$
$$\vec{CD_1}=D_1-C=(-a,0,a).$$
Тогда
$$ \vec{BD}\cdot \vec{CD_1}=(-a)(-a)+a\cdot 0+0\cdot a=a^2, $$
$$ |\vec{BD}|=\sqrt{(-a)^2+a^2}=a\sqrt2,\qquad |\vec{CD_1}|=\sqrt{(-a)^2+a^2}=a\sqrt2. $$
Следовательно,
$$ \cos \varphi=\frac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt2}=\frac{1}{2}. $$
Значит,
$$\varphi=60^\circ.$$
б) Для прямых $$AC$$ и $$AC_1$$ возьмём векторы
$$\vec{AC}=C-A=(a,a,0),$$
$$\vec{AC_1}=C_1-A=(a,a,a).$$
Тогда
$$ \vec{AC}\cdot \vec{AC_1}=a\cdot a+a\cdot a+0\cdot a=2a^2, $$
$$ |\vec{AC}|=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2,\qquad |\vec{AC_1}|=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt3. $$
Следовательно,
$$ \cos \varphi=\frac{2a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt3}=\frac{2}{\sqrt6}=\sqrt{\frac{2}{3}}. $$
Значит,
$$\varphi=\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Ответ
а) $$60^\circ$$; б) $$\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}$$.