Упр.708 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$AB=BC=AA_1$$. Найдите угол между прямыми: а) $$BD$$ и $$CD_1$$; б) $$AC$$ и $$AC_1$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$, оси направим вдоль рёбер параллелепипеда. Пусть $$AB=BC=AA_1=a$$. Тогда координаты вершин можно задать так:

$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad C(a,a,0),\quad D(0,a,0),$$

$$A_1(0,0,a),\quad B_1(a,0,a),\quad C_1(a,a,a),\quad D_1(0,a,a).$$

Угол между прямыми найдём по формуле для косинуса угла между векторами:

$$\cos\varphi=\frac{\vec u\cdot \vec v}{|\vec u|\cdot |\vec v|}.$$

а) Угол между $$BD$$ и $$CD_1$$

Возьмём направляющие векторы:

$$\overrightarrow{BD}=D-B=(-a,a,0),$$

$$\overrightarrow{CD_1}=D_1-C=(-a,0,a).$$

Тогда

$$\cos\varphi= \frac{(-a)(-a)+a\cdot 0+0\cdot a}{\sqrt{(-a)^2+a^2+0^2}\cdot \sqrt{(-a)^2+0^2+a^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{2a^2}\cdot \sqrt{2a^2}} = \frac{1}{2}.$$

Значит,

$$\varphi=\arccos\frac12=60^\circ.$$

б) Угол между $$AC$$ и $$AC_1$$

Возьмём векторы:

$$\overrightarrow{AC}=C-A=(a,a,0),$$

$$\overrightarrow{AC_1}=C_1-A=(a,a,a).$$

Тогда

$$\cos\varphi= \frac{a\cdot a+a\cdot a+0\cdot a}{\sqrt{a^2+a^2+0^2}\cdot \sqrt{a^2+a^2+a^2}} = \frac{2a^2}{\sqrt{2a^2}\cdot \sqrt{3a^2}} = \frac{2}{\sqrt6} = \sqrt{\frac23}.$$

Следовательно,

$$\varphi=\arccos\sqrt{\frac23}.$$

Ответ: а) $$60^\circ$$; б) $$\arccos\sqrt{\frac23}$$.