Упр.707 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$M$$ лежит на ребре $$AA_1$$, причём $$AM:MA_1=3:1$$, а точка $$N$$ — середина ребра $$BC$$. Вычислите косинус угла между прямыми: а) $$MN$$ и $$DD_1$$; б) $$MN$$ и $$BD$$; в) $$MN$$ и $$B_1D$$; г) $$MN$$ и $$A_1C$$.
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$, оси направим вдоль рёбер куба. Тогда
$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad C(a,a,0),\quad D(0,a,0),$$
$$A_1(0,0,a),\quad B_1(a,0,a),\quad C_1(a,a,a),\quad D_1(0,a,a).$$
Так как $$AM:MA_1=3:1$$, то
$$M\left(0,0,\frac{3a}{4}\right).$$
Точка $$N$$ — середина ребра $$BC$$, значит
$$N\left(a,\frac{a}{2},0\right).$$
Найдём вектор
$$\overrightarrow{MN}=\left(a,\frac{a}{2},-\frac{3a}{4}\right).$$
Косинус угла между прямыми равен косинусу угла между их направляющими векторами:
$$\cos\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right|}{|\overrightarrow{u}|\cdot|\overrightarrow{v}|}.$$
а) $$MN$$ и $$DD_1$$
Направляющий вектор прямой $$DD_1$$:
$$\overrightarrow{DD_1}=(0,0,a).$$
$$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{DD_1}=a\cdot 0+\frac{a}{2}\cdot 0-\frac{3a}{4}\cdot a=-\frac{3a^2}{4},$$
$$|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{29}}{4},\qquad |\overrightarrow{DD_1}|=a.$$
$$\cos\angle(MN,DD_1)=\frac{\left|-\frac{3a^2}{4}\right|}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a}=\frac{3}{\sqrt{29}}.$$
б) $$MN$$ и $$BD$$
Направляющий вектор прямой $$BD$$:
$$\overrightarrow{BD}=(-a,a,0).$$
$$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BD}=a(-a)+\frac{a}{2}\cdot a-\frac{3a}{4}\cdot 0=-\frac{a^2}{2},$$
$$|\overrightarrow{BD}|=a\sqrt{2}.$$
$$\cos\angle(MN,BD)=\frac{\left|-\frac{a^2}{2}\right|}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{58}}=\sqrt{\frac{2}{29}}.$$
в) $$MN$$ и $$B_1D$$
Направляющий вектор прямой $$B_1D$$:
$$\overrightarrow{B_1D}=(-a,a,-a).$$
$$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{B_1D}=a(-a)+\frac{a}{2}\cdot a-\frac{3a}{4}\cdot(-a)=-\frac{a^2}{2}+\frac{3a^2}{4}=\frac{a^2}{4},$$
$$|\overrightarrow{B_1D}|=a\sqrt{3}.$$
$$\cos\angle(MN,B_1D)=\frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{87}}.$$
г) $$MN$$ и $$A_1C$$
Направляющий вектор прямой $$A_1C$$:
$$\overrightarrow{A_1C}=(a,a,-a).$$
$$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{A_1C}=a\cdot a+\frac{a}{2}\cdot a-\frac{3a}{4}\cdot(-a)=a^2+\frac{a^2}{2}+\frac{3a^2}{4}=\frac{9a^2}{4}.$$
$$\cos\angle(MN,A_1C)=\frac{\frac{9a^2}{4}}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{29}}.$$
Ответ: а) $$\frac{3}{\sqrt{29}}$$; б) $$\frac{2}{\sqrt{58}}=\sqrt{\frac{2}{29}}$$; в) $$\frac{1}{\sqrt{87}}$$; г) $$\frac{3}{\sqrt{29}}$$.
