Упр.707 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B кубе ABCDA1B1C1D1 точка M лежит на ребре AA1, причем AM : MA1 = 3 : 1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми: а) MN и DD1; б) MN и BD; в) MN и B1D; г) MN и A1C.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$, оси направим вдоль рёбер куба. Пусть $$AB=a$$. Тогда

$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad C(a,a,0),\quad D(0,a,0),$$
$$A_1(0,0,a),\quad B_1(a,0,a),\quad C_1(a,a,a),\quad D_1(0,a,a).$$

Точка $$M$$ делит ребро $$AA_1$$ в отношении $$AM:MA_1=3:1$$, значит

$$M\left(0,0,\frac{3a}{4}\right).$$

Точка $$N$$ — середина ребра $$BC$$, поэтому

$$N\left(a,\frac{a}{2},0\right).$$

Найдём вектор

$$\overrightarrow{MN}=\left(a,\frac{a}{2},-\frac{3a}{4}\right).$$

Для угла между прямыми используем формулу

$$\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|\cdot|\overrightarrow{v}|}.$$

а) Угол между $$MN$$ и $$DD_1$$.

$$\overrightarrow{DD_1}=(0,0,a).$$

$$ \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{DD_1} = a\cdot 0+\frac{a}{2}\cdot 0-\frac{3a}{4}\cdot a =-\frac{3a^2}{4}. $$

$$ |\overrightarrow{MN}|=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{16}} =\frac{a\sqrt{29}}{4},\qquad |\overrightarrow{DD_1}|=a. $$

$$ \cos\angle(MN,DD_1)=\frac{\frac{3a^2}{4}}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a} =\frac{3}{\sqrt{29}}. $$

б) Угол между $$MN$$ и $$BD$$.

$$\overrightarrow{BD}=(-a,a,0).$$

$$ \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BD} = a(-a)+\frac{a}{2}\cdot a-\frac{3a}{4}\cdot 0 =-\frac{a^2}{2}. $$

$$ |\overrightarrow{BD}|=a\sqrt{2}. $$

$$ \cos\angle(MN,BD)=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a\sqrt{2}} =\frac{2}{\sqrt{58}}. $$

в) Угол между $$MN$$ и $$B_1D$$.

$$\overrightarrow{B_1D}=(-a,a,-a).$$

$$ \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{B_1D} = a(-a)+\frac{a}{2}\cdot a-\frac{3a}{4}\cdot(-a) =\frac{a^2}{4}. $$

$$ |\overrightarrow{B_1D}|=a\sqrt{3}. $$

$$ \cos\angle(MN,B_1D)=\frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a\sqrt{3}} =\frac{1}{\sqrt{87}}. $$

г) Угол между $$MN$$ и $$A_1C$$.

$$\overrightarrow{A_1C}=(a,a,-a).$$

$$ \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{A_1C} = a\cdot a+\frac{a}{2}\cdot a-\frac{3a}{4}\cdot(-a) =\frac{9a^2}{4}. $$

$$ \cos\angle(MN,A_1C)=\frac{\frac{9a^2}{4}}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a\sqrt{3}} =\frac{3}{\sqrt{29}}. $$

Ответ

а) $$\frac{3}{\sqrt{29}}$$; б) $$\frac{2}{\sqrt{58}}$$; в) $$\frac{1}{\sqrt{87}}$$; г) $$\frac{3}{\sqrt{29}}$$.