Упр.706 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дана правильная треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, в которой $$AA_1=\sqrt{2}AB$$. Найдите угол между прямыми $$AC_1$$ и $$A_1B$$.

Пусть $$AB=a,$$ тогда $$AA_1=\sqrt{2}\,a.$$

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$C$$ так, чтобы ось $$Ox$$ была направлена вдоль $$CA,$$ ось $$Oy$$ — вдоль $$CB,$$ а ось $$Oz$$ — вдоль $$CC_1.$$ Тогда координаты вершин можно записать так:

$$C(0,0,0),\quad A(a,0,0),\quad B\left(\frac a2,\frac{a\sqrt3}{2},0\right),\quad C_1(0,0,a\sqrt2),$$

а значит

$$A_1\left(a,0,a\sqrt2\right).$$

Найдём координаты направляющих векторов прямых $$AC_1$$ и $$A_1B$$:

$$\overrightarrow{AC_1}=\left(-a,0,a\sqrt2\right),$$

$$\overrightarrow{A_1B}=\left(-\frac a2,\frac{a\sqrt3}{2},-a\sqrt2\right).$$

Скалярное произведение этих векторов равно

$$\overrightarrow{AC_1}\cdot \overrightarrow{A_1B}=\left(-a\right)\left(-\frac a2\right)+0\cdot \frac{a\sqrt3}{2}+a\sqrt2\cdot(-a\sqrt2)=\frac{a^2}{2}-2a^2=-\frac{3a^2}{2}.$$

Найдём длины векторов:

$$|\overrightarrow{AC_1}|=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt3,$$

$$|\overrightarrow{A_1B}|=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}+2a^2}=a\sqrt3.$$

Тогда

$$\cos\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{AC_1}\cdot \overrightarrow{A_1B}\right|}{|\overrightarrow{AC_1}|\cdot |\overrightarrow{A_1B}|}=\frac{\frac{3a^2}{2}}{a\sqrt3\cdot a\sqrt3}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\varphi=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$.