Упр.706 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой AA1 = = V2AB (рис. 139, а). Найдите угол между прямыми AC1 и A1B. Решение Пусть AB = а, тогда AA1 = V2a. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 139, б. Вершины А, В, A1, C1 имеют следующие координаты (объясните почему): A^^^;|;0j, B (0; a; 0), A1 (^i; |; av2 } C1 (0; 0; aV2). Отсюда находим координаты векторов AC1 и BA1: ic,{-^rf;oT2j, Д{гй;-|;»Л}. Векторы AC1 и BA1 являются направляющими векторами пря- мыхАС, и A1B. Искомый угол ф между ними можно найти по формуле (2V — — a2 + =a2 + 2a2 4 4 , COS Ф = r —|, . = i, откуда Ф = 60°. 1-а2 + -а2 + 2а2 > |—a2 + ia2 + 2a2 ^ \ 4 4 V 4 4

Пусть $$AB=a$$, тогда по условию $$AA_1=\sqrt{2}\,a$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$C$$ так, чтобы оси были направлены вдоль рёбер призмы. Тогда координаты вершин можно задать так:

$$C(0,0,0),\quad B(0,a,0),\quad A\left(\frac{a\sqrt{3}}{2},\frac{a}{2},0\right),$$

$$C_1(0,0,a\sqrt{2}),\quad A_1\left(\frac{a\sqrt{3}}{2},\frac{a}{2},a\sqrt{2}\right).$$

Найдём координаты направляющих векторов прямых $$AC_1$$ и $$A_1B$$:

$$\overrightarrow{AC_1}=\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2},-\frac{a}{2},a\sqrt{2}\right),$$

$$\overrightarrow{BA_1}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2},-\frac{a}{2},a\sqrt{2}\right).$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC_1}\cdot \overrightarrow{BA_1}=-\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2+2a^2=\frac{3}{2}a^2,$$

а длины этих векторов равны:

$$|\overrightarrow{AC_1}|=|\overrightarrow{BA_1}|=\sqrt{\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2+2a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AC_1}\cdot \overrightarrow{BA_1}}{|\overrightarrow{AC_1}|\cdot |\overrightarrow{BA_1}|}=\frac{\frac{3}{2}a^2}{3a^2}=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$\varphi=60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ$$