Упр.705 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вычислите угол между прямыми $$AB$$ и $$CD$$, если:
   а) $$A(3; -2; 4),\ B(4; -1; 2),\ C(6; -3; 2),\ D(7; -3; 1)$$;
   б) $$A(5; -8; -1),\ B(6; -8; -2),\ C(7; -5; -11),\ D(7; -7; -9)$$;
   в) $$A(1; 0; 2),\ B(2; 1; 0),\ C(0; -2; -4),\ D(-2; -4; 0)$$;
   г) $$A(^; -15; 7),\ B(-7; -15; 8),\ C(14; -10; 9),\ D(14; -10; 7)$$.

Найдём направляющие векторы прямых $$AB$$ и $$CD$$ и воспользуемся формулой

$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}.$$

Угол между прямыми берём меньший, то есть не больше $$90^\circ$$.

а)

$$\vec{AB}=(4-3,\,-1-(-2),\,2-4)=(1,1,-2),$$

$$\vec{CD}=(7-6,\,-3-(-3),\,1-2)=(1,0,-1).$$

Тогда

$$\vec{AB}\cdot \vec{CD}=1\cdot 1+1\cdot 0+(-2)\cdot(-1)=3,$$

$$|\vec{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt6,\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2.$$

Следовательно,

$$\cos \varphi=\frac{3}{\sqrt6\cdot \sqrt2}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt3}{2},$$

откуда $$\varphi=30^\circ.$$

б)

$$\vec{AB}=(6-5,\,-8-(-8),\,-2-(-1))=(1,0,-1),$$

$$\vec{CD}=(7-7,\,-7-(-5),\,-9-(-11))=(0,-2,2).$$

Тогда

$$\vec{AB}\cdot \vec{CD}=1\cdot 0+0\cdot(-2)+(-1)\cdot 2=-2,$$

$$|\vec{AB}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2,\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt8.$$

Следовательно,

$$\cos \varphi=\frac{-2}{\sqrt2\cdot \sqrt8}=-\frac12.$$

Угол между прямыми — меньший из двух смежных, значит

$$\varphi=60^\circ.$$

в)

$$\vec{AB}=(2-1,\,1-0,\,0-2)=(1,1,-2),$$

$$\vec{CD}=(-2-0,\,-4-(-2),\,0-(-4))=(-2,-2,4).$$

Заметим, что

$$\vec{CD}=-2\vec{AB}.$$

Значит, прямые параллельны, а направлены в противоположные стороны. Поэтому угол между ними равен

$$\varphi=0^\circ.$$

г)

$$\vec{AB}=(-7-(-6),\,-15-(-15),\,8-7)=(-1,0,1),$$

$$\vec{CD}=(14-14,\,-10-(-10),\,7-9)=(0,0,-2).$$

Тогда

$$\vec{AB}\cdot \vec{CD}=(-1)\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot(-2)=-2,$$

$$|\vec{AB}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt2,\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{0^2+0^2+(-2)^2}=2.$$

Следовательно,

$$\cos \varphi=\frac{-2}{\sqrt2\cdot 2}=-\frac{\sqrt2}{2},$$

откуда

$$\varphi=45^\circ.$$

Ответ

а) $$30^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$0^\circ$$; г) $$45^\circ$$.