Упр.704 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажите, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.

Введём векторы $$\vec a=\overrightarrow{DA},\quad \vec b=\overrightarrow{DB},\quad \vec c=\overrightarrow{DC}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a,\quad \overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a,\quad \overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b.$$

По условию $$AD\perp BC$$ и $$BD\perp AC$$, значит

$$\vec a\cdot(\vec c-\vec b)=0,\qquad \vec b\cdot(\vec c-\vec a)=0.$$

Отсюда получаем

$$\vec a\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec b,\qquad \vec b\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec a.$$

Следовательно,

$$\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c,$$

то есть

$$(\vec a-\vec b)\cdot\vec c=0.$$

Но $$\vec a-\vec b=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BA},$$ а $$\vec c=\overrightarrow{DC}.$$ Значит,

$$\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{DC},$$

то есть $$AB\perp CD.$$