Упр.703 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$AA_1=AB=AD=1$$, $$\angle DAB=60^\circ$$, $$\angle A_1AD=\angle A_1AB=90^\circ$$. Вычислите: а) $$\angle BAD_1$$; б) $$\angle BC_1D_1$$; в) $$\angle AC_1A_1$$; г) $$|DB_1|$$; д) $$|A_1C|$$.

Подробный ответ

Обозначим векторы рёбер параллелепипеда: $$\vec{AB},\ \vec{AD},\ \vec{AA_1}.$$

По условию $$AB=AD=AA_1=1,$$ $$\angle DAB=60^\circ,$$ а также $$AA_1\perp AB$$ и $$AA_1\perp AD.$$

Найдём сначала нужные диагонали и их длины:

$$\vec{AC_1}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA_1}, \qquad \vec{D_1B}=\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{AA_1}.$$

$$|\vec{AC_1}|^2=AB^2+AD^2+AA_1^2+2\vec{AB}\cdot\vec{AD} =1+1+1+2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 60^\circ=4,$$
значит $$|\vec{AC_1}|=2.$$

$$|\vec{D_1B}|^2=AB^2+AD^2+AA_1^2-2\vec{AB}\cdot\vec{AD} =1+1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 60^\circ=2,$$
значит $$|\vec{D_1B}|=\sqrt2.$$

Теперь вычислим скалярные произведения.

$$\vec{BA}\cdot\vec{D_1C_1}=(-\vec{AB})\cdot\vec{AB}=-AB^2=-1,$$
поэтому
$$\cos(\vec{BA},\vec{D_1C_1})=\frac{-1}{1\cdot 1}=-1.$$

$$\vec{BC_1}=\vec{AD}+\vec{AA_1},\qquad \vec{D_1B}=\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{AA_1}.$$
Тогда
$$\vec{BC_1}\cdot\vec{D_1B} =(\vec{AD}+\vec{AA_1})\cdot(\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{AA_1})$$
$$=\vec{AD}\cdot\vec{AB}-|\vec{AD}|^2-|\vec{AA_1}|^2 =-\frac12-1-1=-\frac52.$$
Следовательно,
$$\cos(\vec{BC_1},\vec{D_1B}) =\frac{-\frac52}{1\cdot\sqrt2} =-\frac{5}{2\sqrt2}.$$

$$\vec{AC_1}\cdot\vec{AC_1}=|\vec{AC_1}|^2=4.$$

В треугольнике $$DBB_1$$ имеем $$DB=1$$ и $$BB_1=AA_1=1,$$ а также $$BB_1\perp DB,$$ поэтому
$$|DB_1|=\sqrt{DB^2+BB_1^2}=\sqrt2.$$

$$|A_1C|^2=AC^2+AA_1^2.$$
Так как в основании параллелепипеда лежит ромб со стороной $$1$$ и углом $$60^\circ,$$ то
$$AC=2\cdot 1\cdot \sin 30^\circ=1,$$
откуда
$$|A_1C|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.$$

$$\vec{DA_1}=-\vec{AD}+\vec{AA_1},\qquad \vec{D_1B}=\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{AA_1}.$$
Тогда
$$\vec{DA_1}\cdot\vec{D_1B} =(-\vec{AD}+\vec{AA_1})\cdot(\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{AA_1}) =-\frac12.$$
Следовательно,
$$\cos(\vec{DA_1},\vec{D_1B}) =\frac{-\frac12}{\sqrt2\cdot\sqrt2} =-\frac14.$$

$$\vec{AC_1}\cdot\vec{D_1B} =(\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA_1})\cdot(\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{AA_1})=1,$$
поэтому
$$\cos(\vec{AC_1},\vec{D_1B}) =\frac{1}{2\cdot\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{4}.$$

Ответ: $$-1;\ -\frac{5}{2\sqrt2};\ 4;\ \sqrt2;\ \sqrt2;\ -\frac14;\ \frac{\sqrt2}{4}.$$