Упр.703 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AA1 = AB = AD = 1, ZDAB = 60°, ZA1AD = ZA1AB = 90°. Вычислите: а) BADfi1-, б) BC1 Dfi; в) AC1 AC1; г) |DBfi д) |A^C|;

Обозначим векторы ребер параллелепипеда: $$\vec{AB},\ \vec{AD},\ \vec{AA_1}.$$ По условию $$AB=AD=AA_1=1,$$ $$\angle DAB=60^\circ,$$ а также $$AA_1\perp AB$$ и $$AA_1\perp AD.$$

Найдём сначала нужные диагонали и их длины.

$$ \begin{aligned} DC_1&=AB_1=BA_1=BC_1=C_1B=AD_1=DA_1=\sqrt{2},\\ AC_1&=AC_1=\sqrt{AB^2+AD^2+2\cdot AB\cdot AD\cos 60^\circ}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3},\\ DB&=\sqrt{AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos 60^\circ}=\sqrt{1+1-1}=1,\\ DB_1&=\sqrt{DB^2+BB_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},\\ A_1C&=\sqrt{AC^2+AA_1^2}=\sqrt{3+1}=2. \end{aligned} $$

Теперь вычислим скалярные произведения по формуле

$$ \cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}. $$

а) Векторы $$\vec{BA}$$ и $$\vec{D_1C_1}$$ параллельны, но направлены в противоположные стороны, значит

$$ \vec{BA}\cdot \vec{D_1C_1}=|BA|\cdot |D_1C_1|\cos 180^\circ=-1. $$

б) Представим

$$ \vec{BC_1}=\vec{BC}+\vec{CC_1}=\vec{AD}+\vec{AA_1}, $$
$$ \vec{D_1B}=\vec{D_1C_1}+\vec{C_1C}+\vec{CB}=\vec{AB}-\vec{AA_1}-\vec{AD}. $$

Тогда

$$ \begin{aligned} \vec{BC_1}\cdot \vec{D_1B} &=(\vec{AD}+\vec{AA_1})\cdot(\vec{AB}-\vec{AA_1}-\vec{AD})\\ &=\vec{AD}\cdot\vec{AB}-\vec{AD}\cdot\vec{AA_1}-|\vec{AD}|^2 +\vec{AA_1}\cdot\vec{AB}-|\vec{AA_1}|^2\\ &=1\cdot 1\cdot \cos 60^\circ-0-1+0-1\\ &=\frac12-2=-\frac32. \end{aligned} $$

в)

$$ \begin{aligned} \vec{AC_1}\cdot \vec{AC_1} &=(\vec{AC}+\vec{CC_1})\cdot(\vec{AC}+\vec{CC_1})\\ &=|\vec{AC}|^2+2\vec{AC}\cdot\vec{CC_1}+|\vec{CC_1}|^2\\ &=3+2\cdot 0+1=4. \end{aligned} $$

г)

$$ |DB_1|=\sqrt{DB^2+BB_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. $$

д)

$$ |A_1C|=\sqrt{AC^2+AA_1^2}=\sqrt{3+1}=2. $$

е) Найдём $$\cos(\vec{DA_1},\vec{D_1B}).$$ Имеем

$$ \vec{DA_1}=\vec{DA}+\vec{AA_1},\qquad \vec{D_1B}=\vec{D_1C_1}+\vec{C_1B}+\vec{BD} =\vec{AB}-\vec{AA_1}-\vec{AD}. $$

Тогда

$$ \begin{aligned} \vec{DA_1}\cdot \vec{D_1B} &=(\vec{DA}+\vec{AA_1})\cdot(\vec{AB}-\vec{AA_1}-\vec{AD})\\ &=\vec{DA}\cdot\vec{AB}-|\vec{DA}|^2-|\vec{AA_1}|^2\\ &=1\cdot 1\cdot \cos 60^\circ-1-1\\ &=-\frac32. \end{aligned} $$

Следовательно,

$$ \cos(\vec{DA_1},\vec{D_1B})= \frac{-\frac32}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=-\frac34. $$

ж) Найдём $$\cos(\vec{AC_1},\vec{DB_1}).$$

$$ \vec{AC_1}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA_1},\qquad \vec{DB_1}=\vec{AB}-\vec{AD}+\vec{AA_1}. $$

Тогда

$$ \begin{aligned} \vec{AC_1}\cdot \vec{DB_1} &=(\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA_1})\cdot(\vec{AB}-\vec{AD}+\vec{AA_1})\\ &=|\vec{AB}|^2-|\vec{AD}|^2+|\vec{AA_1}|^2\\ &=1-1+1=1. \end{aligned} $$

Значит,

$$ \cos(\vec{AC_1},\vec{DB_1})= \frac{1}{|\vec{AC_1}|\cdot |\vec{DB_1}|} =\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}. $$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } -1,\qquad \text{б) } -\frac32,\qquad \text{в) } 4,\qquad \text{г) } \sqrt{2},\\ &\text{д) } 2,\qquad \text{е) } -\frac34,\qquad \text{ж) } \frac{\sqrt{2}}{4}. \end{aligned} $$