Упр.702 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Все рёбра тетраэдра $$ABCD$$ равны друг другу. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AD$$ и $$BC$$. Докажите, что $$MN \perp AD$$ и $$MN \perp BC$$.

Обозначим $$\vec{DA}=\vec a,\quad \vec{DB}=\vec b,\quad \vec{DC}=\vec c.$$

Так как все рёбра тетраэдра равны, то $$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|$$ и углы между любыми двумя из этих векторов равны $$60^\circ$$.

Точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AD$$ и $$BC$$, значит

$$\vec{DM}=\frac12\vec a,\qquad \vec{BN}=\frac12\vec{BC}=\frac12(\vec c-\vec b).$$

Тогда

$$\vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DB}+\vec{BN}=-\frac12\vec a+\vec b+\frac12(\vec c-\vec b)=\frac12(\vec b-\vec a+\vec c).$$

Найдём скалярное произведение:

$$\vec{MN}\cdot \vec{AD} =\frac12(\vec b-\vec a+\vec c)\cdot \vec a =\frac12(\vec b\cdot \vec a-\vec a\cdot \vec a+\vec c\cdot \vec a).$$

Так как

$$\vec a\cdot \vec a=|\vec a|^2=a^2,$$

а также

$$\vec b\cdot \vec a=\vec c\cdot \vec a=a^2\cos 60^\circ=\frac{a^2}{2},$$

то

$$\vec{MN}\cdot \vec{AD} =\frac12\left(\frac{a^2}{2}-a^2+\frac{a^2}{2}\right)=0.$$

Аналогично получаем

$$\vec{MN}\cdot \vec{BC}=0.$$

Следовательно, $$MN\perp AD$$ и $$MN\perp BC$$, что и требовалось доказать.

Ответ: $$MN\perp AD$$ и $$MN\perp BC$$.