Упр.701 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что координаты ненулевого вектора в прямоугольной системе координат равны $$\left\{|a|\cos\varphi_1;\ |a|\cos\varphi_2;\ |a|\cos\varphi_3\right\}$$, где $$\varphi_1=\angle(a,\vec{i}),\quad \varphi_2=\angle(a,\vec{j}),\quad \varphi_3=\angle(a,\vec{k}).$$

Если вектор $$\vec a$$ имеет координаты $$\left(x;y;z\right),$$ то

$$\vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k.$$

Умножим это равенство скалярно на $$\vec i$$:

$$\vec a\cdot \vec i=\left(x\vec i+y\vec j+z\vec k\right)\cdot \vec i=x\left(\vec i\cdot \vec i\right)+y\left(\vec j\cdot \vec i\right)+z\left(\vec k\cdot \vec i\right).$$

Так как $$\vec i\cdot \vec i=1,$$ $$\vec j\cdot \vec i=0,$$ $$\vec k\cdot \vec i=0,$$ то

$$\vec a\cdot \vec i=x.$$

С другой стороны, по определению скалярного произведения

$$\vec a\cdot \vec i=|\vec a|\cdot |\vec i|\cos\varphi_1=|\vec a|\cos\varphi_1,$$

так как $$|\vec i|=1.$$ Следовательно,

$$x=|\vec a|\cos\varphi_1.$$

Аналогично, умножая равенство $$\vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k$$ скалярно на $$\vec j$$ и на $$\vec k,$$ получаем

$$y=|\vec a|\cos\varphi_2,\qquad z=|\vec a|\cos\varphi_3.$$

Значит, координаты ненулевого вектора $$\vec a$$ в прямоугольной системе координат равны

$$\left(|\vec a|\cos\varphi_1;\ |\vec a|\cos\varphi_2;\ |\vec a|\cos\varphi_3\right).$$