Упр.700 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Векторы a и b перпендикулярны к вектору с, ab= 120°, |a| = = I b I = I с I = 1. Вычислите: а) скалярные произведения (a + b + c)(2b) и (a-b + c)(a-c); б) |a-5| и |a+ft-c|.
Так как $$\vec a \perp \vec c$$ и $$\vec b \perp \vec c$$, то
$$\vec a \cdot \vec c=0,\qquad \vec b \cdot \vec c=0.$$
Кроме того, $$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$$ и $$\angle(\vec a,\vec b)=120^\circ$$, значит
$$\vec a \cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos 120^\circ=-\frac12.$$
а)
$$ (\vec a+\vec b+\vec c)\cdot 2\vec b =2(\vec a\cdot \vec b+\vec b\cdot \vec b+\vec c\cdot \vec b) =2\left(-\frac12+1+0\right)=1. $$
$$ (\vec a-\vec b+\vec c)\cdot(\vec a-\vec c) =\vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec c-\vec b\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a-\vec c\cdot\vec c $$
$$ =1-0-\left(-\frac12\right)+0+0-1=\frac12. $$
б)
$$ |\vec a-\vec b| =\sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a|\,|\vec b|\cos 120^\circ} =\sqrt{1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot\left(-\frac12\right)} =\sqrt3. $$
$$ |\vec a+\vec b-\vec c| =\sqrt{|\vec a+\vec b|^2+|\vec c|^2} $$
Так как $$\vec c \perp \vec a$$ и $$\vec c \perp \vec b$$, то $$\vec c \perp (\vec a+\vec b)$$, поэтому
$$ |\vec a+\vec b-\vec c|^2=|\vec a+\vec b|^2+|\vec c|^2. $$
Далее
$$ |\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\cdot\vec b =1+1+2\cdot\left(-\frac12\right)=1. $$
Следовательно,
$$ |\vec a+\vec b-\vec c|=\sqrt{1+1}=\sqrt2. $$
Ответ
а) $$1$$ и $$\frac12$$; б) $$\sqrt3$$ и $$\sqrt2$$.