Упр.700 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ перпендикулярны к вектору $$\vec c$$, $$\angle(\vec a,\vec b)=120^\circ$$, $$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$$. Вычислите:
а) скалярные произведения $$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot 2\vec b$$ и $$(\vec a-\vec b+\vec c)\cdot(\vec a-\vec c)$$;
б) $$|\vec a-\vec b|$$ и $$|\vec a+\vec b-\vec c|$$.
Так как $$\vec a \perp \vec c$$ и $$\vec b \perp \vec c,$$ то
$$\vec a\cdot \vec c=0,\qquad \vec b\cdot \vec c=0.$$
а)
Найдём первое скалярное произведение:
$$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot 2\vec b =2(\vec a\cdot \vec b+\vec b\cdot \vec b+\vec c\cdot \vec b).$$
Так как $$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1,$$ то $$\vec b\cdot \vec b=1.$$ Кроме того,
$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos 120^\circ=\cos 120^\circ=-\frac12.$$
Тогда
$$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot 2\vec b =2\left(-\frac12+1+0\right)=1.$$
Теперь вычислим второе произведение:
$$(\vec a-\vec b+\vec c)\cdot(\vec a-\vec c) = \vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec c-\vec b\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a-\vec c\cdot\vec c.$$
Подставим значения:
$$(\vec a-\vec b+\vec c)\cdot(\vec a-\vec c) =1-0-\left(-\frac12\right)+0+0-1=\frac12.$$
б)
$$|\vec a-\vec b| =\sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos 120^\circ} =\sqrt{1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot\left(-\frac12\right)} =\sqrt3.$$
Далее:
$$|\vec a+\vec b-\vec c|^2 =(\vec a+\vec b-\vec c)\cdot(\vec a+\vec b-\vec c).$$
Раскроем скобки:
$$|\vec a+\vec b-\vec c|^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2\vec a\cdot\vec b-2\vec a\cdot\vec c-2\vec b\cdot\vec c.$$
Подставим значения:
$$|\vec a+\vec b-\vec c|^2 =1+1+1+2\left(-\frac12\right)-0-0=2.$$
Значит,
$$|\vec a+\vec b-\vec c|=\sqrt2.$$
Ответ
а) $$1$$ и $$\frac12$$; б) $$\sqrt3$$ и $$\sqrt2$$.
