Упр.70 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ тетраэдра $$ABCD$$, параллельна плоскости $$BCD$$.
Рассмотрим тетраэдр $$ABCD$$. Пусть $$M$$, $$N$$ и $$P$$ — середины рёбер $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ соответственно.
В треугольнике $$ACD$$ отрезок $$NP$$ соединяет середины сторон $$AC$$ и $$AD$$, значит, по теореме о средней линии треугольника
$$NP \parallel CD.$$
Аналогично, в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ соединяет середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, поэтому
$$MN \parallel BC.$$
Прямые $$MN$$ и $$NP$$ лежат в плоскости $$MNP$$ и пересекаются в точке $$N$$. Прямые $$BC$$ и $$CD$$ лежат в плоскости $$BCD$$ и также пересекаются в точке $$C$$. При этом
$$MN \parallel BC,\qquad NP \parallel CD.$$
Следовательно, две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Значит, плоскости $$MNP$$ и $$BCD$$ параллельны.
Ответ: $$MNP \parallel BCD$$.
