Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — основания высот треугольника $$ABC$$. Углы треугольника $$A_1B_1C_1$$ равны $$90^\circ$$, $$60^\circ$$ и $$30^\circ$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$.

Обозначим углы треугольника $$ABC$$ через $$\angle A,\ \angle B,\ \angle C$$. Так как $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — основания высот, то треугольник $$A_1B_1C_1$$ является ортотреугольником треугольника $$ABC$$.

Для ортотреугольника верно:

$$\angle A_1=180^\circ-2\angle A,$$
$$\angle B_1=180^\circ-2\angle B,$$
$$\angle C_1=180^\circ-2\angle C.$$

Тогда:

$$\angle A=\frac{180^\circ-\angle A_1}{2}=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ,$$
$$\angle B=\frac{180^\circ-\angle B_1}{2}=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ,$$
$$\angle C=\frac{180^\circ-\angle C_1}{2}=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ.$$

Проверка: $$45^\circ+60^\circ+75^\circ=180^\circ$$.

Кроме того, если поменять соответствие углов ортотреугольника и треугольника $$ABC$$, получаются ещё два возможных набора углов:

1. $$15^\circ,\ 30^\circ,\ 135^\circ$$;
2. $$15^\circ,\ 45^\circ,\ 120^\circ$$;
3. $$30^\circ,\ 45^\circ,\ 105^\circ$$.

Ответ: $$45^\circ,\ 60^\circ,\ 75^\circ$$; $$15^\circ,\ 30^\circ,\ 135^\circ$$; $$15^\circ,\ 45^\circ,\ 120^\circ$$; $$30^\circ,\ 45^\circ,\ 105^\circ$$.