Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 49. Найдите угол E_1EA_1. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник $$E_1F_1A_1.$$ Так как призма правильная, то основание — правильный шестиугольник, а все рёбра равны $$49$$. Поэтому

$$E_1F_1=F_1A_1=AB=49.$$

Угол правильного шестиугольника равен $$120^\circ$$, значит

$$\angle E_1F_1A_1=120^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$ E_1A_1^2=E_1F_1^2+F_1A_1^2-2\cdot E_1F_1\cdot F_1A_1\cos 120^\circ $$

$$ E_1A_1^2=49^2+49^2-2\cdot 49\cdot 49\cdot \left(-\frac12\right)=3\cdot 49^2, $$

откуда

$$E_1A_1=49\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$E_1A_1E.$$ В нём $$EE_1=49$$, а $$EA_1$$ — проекция, поэтому

$$\tan \angle E=\frac{E_1A_1}{EE_1}=\frac{49\sqrt{3}}{49}=\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\angle E=60^\circ.$$

Искомый угол $$\angle E_1EA_1$$ равен $$60^\circ$$.

Ответ

$$60^\circ$$