Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В треугольнике АВС угол С прямой. Найдите косинус внешнего угла при вершине В, если tg(A)=24/7.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C=90^\circ$$, поэтому для угла $$A$$ используем формулу

$$\cos A=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 A}}.$$

Подставим $$\tg A=\frac{24}{7}$$:

$$ \cos A=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{24}{7}\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{576}{49}}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{625}{49}}} =\frac{7}{25}. $$

Тогда

$$ \sin A=\cos A\cdot \tg A=\frac{7}{25}\cdot \frac{24}{7}=\frac{24}{25}. $$

Так как в прямоугольном треугольнике $$\angle B=90^\circ-\angle A$$, то внешний угол при вершине $$B$$ равен

$$\angle DBA=\pi-\angle B.$$

Следовательно,

$$ \cos \angle DBA=-\cos B. $$

Но $$\cos B=\sin A$$, значит

$$ \cos \angle DBA=-\sin A=-\frac{24}{25}. $$

Ответ

$$-\frac{24}{25}$$