Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите косинус угла между прямыми $$AB$$ и $$A_1C$$.

Рассмотрим правильную треугольную призму $$ABCA_1B_1C_1$$, в которой все рёбра равны $$1$$.

Так как призма правильная, то $$AB \parallel A_1B_1$$, значит угол между прямыми $$AB$$ и $$A_1C$$ равен углу $$B_1A_1C$$.

Найдём его косинус.

В прямоугольном треугольнике $$AA_1C$$:

$$A_1C=\sqrt{AA_1^2+AC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$A_1B_1C$$. По теореме косинусов:

$$CB_1^2=A_1B_1^2+A_1C^2-2\cdot A_1B_1\cdot A_1C\cos \angle B_1A_1C$$

Подставим значения:

$$2=1+2-2\cdot 1\cdot \sqrt{2}\cos \angle B_1A_1C$$

$$2\sqrt{2}\cos \angle B_1A_1C=1$$

$$\cos \angle B_1A_1C=\frac{1}{2\sqrt{2}}.$$

Следовательно,

$$\cos \angle(AB,\ A_1C)=\frac{1}{2\sqrt{2}}.$$

Ответ: $$\frac{1}{2\sqrt{2}}$$.