Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ и A_1C.

Рассмотрим правильную треугольную призму $$ABCA_1B_1C_1$$, у которой все рёбра равны $$1$$.

Найдём косинус угла между прямыми $$AB$$ и $$A_1C$$. Так как $$AB \parallel A_1B_1$$, то искомый угол равен углу между прямыми $$A_1B_1$$ и $$A_1C$$, то есть $$\angle B_1A_1C$$.

В правильной треугольной призме основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, поэтому $$AC=1$$. Кроме того, $$AA_1=1$$ и $$AA_1 \perp (ABC)$$, значит треугольник $$AA_1C$$ прямоугольный.

Тогда

$$A_1C=\sqrt{AA_1^2+AC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$A_1B_1C$$. В нём

$$A_1B_1=1,\quad A_1C=\sqrt{2},\quad B_1C=\sqrt{A_1C^2+ B_1B^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3},$$

но удобнее сразу применить теорему косинусов к треугольнику $$A_1B_1C$$:

$$B_1C^2=A_1B_1^2+A_1C^2-2\cdot A_1B_1\cdot A_1C\cdot \cos \angle B_1A_1C.$$

Подставим значения:

$$3=1+2-2\cdot 1\cdot \sqrt{2}\cdot \cos \angle B_1A_1C,$$

откуда

$$\cos \angle B_1A_1C=\frac{1}{2\sqrt{2}}.$$

Следовательно,

$$\cos \angle(AB, A_1C)=\frac{1}{2\sqrt{2}}.$$

Ответ

$$\frac{1}{2\sqrt{2}}$$