Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Две прямые пересекаются в точке М. До- кажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные Рис. 9 прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Возьмём две прямые $$a$$ и $$b$$, пересекающиеся в точке $$M$$. Пусть $$c$$ — любая прямая, не проходящая через $$M$$ и пересекающая обе прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$K$$ и $$L$$ соответственно.

Точки $$M$$, $$K$$ и $$L$$ не лежат на одной прямой, значит, через них проходит единственная плоскость $$\alpha$$.

Так как $$M$$ и $$L$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, а прямая $$b$$ проходит через эти две точки, то $$b \subset \alpha$$. Аналогично, поскольку $$M$$ и $$K$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, то $$a \subset \alpha$$.

Следовательно, обе данные прямые $$a$$ и $$b$$ лежат в одной плоскости $$\alpha$$. Любая другая прямая $$c$$, пересекающая $$a$$ и $$b$$ и не проходящая через $$M$$, также определяется точками пересечения с этими прямыми и потому лежит в той же плоскости $$\alpha$$.

Значит, все прямые, не проходящие через точку $$M$$ и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.

Теперь рассмотрим все прямые, проходящие через точку $$M$$. Если взять, например, прямую $$l_3$$, не лежащую в плоскости $$\alpha$$, но проходящую через $$M$$, то она не принадлежит этой плоскости. Следовательно, не все прямые, проходящие через точку $$M$$, лежат в одной плоскости.

Ответ

Все прямые, не проходящие через $$M$$ и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Все прямые, проходящие через $$M$$, в одной плоскости не лежат.