Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M? Рис. 9.
Возьмём две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$, которые пересекаются в точке $$M$$. Пусть прямая $$c$$ пересекает прямую $$a$$ в точке $$K$$, а прямую $$b$$ — в точке $$L$$, причём $$M \notin c$$.
Точки $$M$$, $$K$$ и $$L$$ не лежат на одной прямой, значит, через них проходит единственная плоскость $$\alpha$$. Так как $$M$$ и $$K$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, то прямая $$a=MK$$ целиком лежит в этой плоскости. Аналогично, из того что $$M$$ и $$L$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, следует, что $$b=ML$$ тоже лежит в плоскости $$\alpha$$.
Теперь рассмотрим любую другую прямую $$c_1$$, удовлетворяющую условию задачи: она пересекает $$a$$ и $$b$$ в точках $$K_1$$ и $$L_1$$. Тогда точки $$K_1$$ и $$L_1$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, а значит, и прямая $$c_1=K_1L_1$$ лежит в этой же плоскости.
Следовательно, все прямые, не проходящие через точку $$M$$ и пересекающие данные прямые $$a$$ и $$b$$, лежат в одной плоскости.
Если же взять произвольную прямую, проходящую через точку $$M$$, то она не обязана лежать в той же плоскости. Через точку $$M$$ можно провести бесконечно много прямых, не принадлежащих плоскости $$\alpha$$. Значит, не все прямые, проходящие через $$M$$, лежат в одной плоскости.
Ответ: все прямые, не проходящие через $$M$$ и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости; все прямые, проходящие через $$M$$, — нет.
