Упр.697 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAlB1CiDl, в котором AB = 1, BC = CC1 = 2. Вычислите угол между векторами DB1 и BC1.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$, оси направим вдоль рёбер параллелепипеда. Тогда

$$A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,2,0),\quad D(0,2,0),$$

$$A_1(0,0,2),\quad B_1(1,0,2),\quad C_1(1,2,2),\quad D_1(0,2,2).$$

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{DB_1}=B_1-D=(1,-2,2),$$

$$\overrightarrow{BC_1}=C_1-B=(0,2,2).$$

Скалярное произведение этих векторов равно

$$\overrightarrow{DB_1}\cdot \overrightarrow{BC_1}=1\cdot 0+(-2)\cdot 2+2\cdot 2=0.$$

Тогда

$$\cos \angle(\overrightarrow{DB_1},\overrightarrow{BC_1})=\frac{\overrightarrow{DB_1}\cdot \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{DB_1}|\cdot |\overrightarrow{BC_1}|}=0.$$

Следовательно, угол между векторами равен

$$90^\circ.$$