Упр.697 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, в котором $$AB=1$$, $$BC=CC_1=2$$. Вычислите угол между векторами $$\overrightarrow{DB_1}$$ и $$\overrightarrow{BC_1}$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$, оси направим вдоль рёбер параллелепипеда. Тогда

$$A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,2,0),\quad D(0,2,0),$$

$$B_1(1,0,2),\quad C_1(1,2,2).$$

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{DB_1}=(1-0,\;0-2,\;2-0)=(1,-2,2),$$

$$\overrightarrow{BC_1}=(1-1,\;2-0,\;2-0)=(0,2,2).$$

Скалярное произведение этих векторов равно

$$\overrightarrow{DB_1}\cdot \overrightarrow{BC_1}=1\cdot 0+(-2)\cdot 2+2\cdot 2=0.$$

Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны. Значит, угол между ними равен

$$90^\circ.$$

Ответ: $$90^\circ$$