Упр.696 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Вычислите косинус угла между векторами: а) $$\overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{AC_1}$$; б) $$\overrightarrow{BD_1}$$ и $$\overrightarrow{DB_1}$$; в) $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{AC_1}$$.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы $$A(0,0,0),\; B(a,0,0),\; D(0,a,0),\; A_1(0,0,a).$$ Тогда

$$C_1(a,a,a),\quad B_1(a,0,a),\quad D_1(0,a,a).$$

Найдём координаты нужных векторов и их длины:

$$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,a),\qquad |\overrightarrow{AA_1}|=a,$$
$$\overrightarrow{AC_1}=(a,a,a),\qquad |\overrightarrow{AC_1}|=a\sqrt3,$$
$$\overrightarrow{BD_1}=(-a,a,a),\qquad |\overrightarrow{BD_1}|=a\sqrt3,$$
$$\overrightarrow{DB_1}=(a,-a,a),\qquad |\overrightarrow{DB_1}|=a\sqrt3,$$
$$\overrightarrow{DB}=(a,-a,0),\qquad |\overrightarrow{DB}|=a\sqrt2.$$

Используем формулу

$$\cos(\vec u,\vec v)=\frac{\vec u\cdot \vec v}{|\vec u|\cdot |\vec v|}.$$

а)

$$\cos(\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{AC_1})= \frac{0\cdot a+0\cdot a+a\cdot a}{a\cdot a\sqrt3} =\frac{1}{\sqrt3}.$$

б)

$$\cos(\overrightarrow{BD_1},\overrightarrow{DB_1})= \frac{(-a)\cdot a+a\cdot(-a)+a\cdot a}{a\sqrt3\cdot a\sqrt3} =\frac{-a^2}{3a^2} =-\frac13.$$

в)

$$\cos(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{AC_1})= \frac{a\cdot a+(-a)\cdot a+0\cdot a}{a\sqrt2\cdot a\sqrt3} =\frac{0}{a^2\sqrt6}=0.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{\sqrt3}$$; б) $$-\frac13$$; в) $$0$$.