Упр.695 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки $$A(1;-1;3)$$, $$B(3;-1;1)$$ и $$C(-1;1;3)$$.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(3-1)^2+(-1+1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt{2},$$
$$BC=\sqrt{(-1-3)^2+(1+1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{16+4+4}=2\sqrt{6},$$
$$CA=\sqrt{(1+1)^2+(-1-1)^2+(3-3)^2}=\sqrt{4+4+0}=2\sqrt{2}.$$

Тогда периметр треугольника:

$$P=AB+BC+CA=2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}+2\sqrt{6}.$$

Найдём углы треугольника через скалярное произведение векторов.

$$\overrightarrow{CA}=(2,-2,0), \qquad \overrightarrow{CB}=(4,-2,-2).$$

$$\cos \angle ACB= \frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|} = \frac{2\cdot 4+(-2)\cdot(-2)+0\cdot(-2)}{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}} = \frac{12}{4\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значит, $$\angle ACB=30^\circ.$$

$$\overrightarrow{AB}=(2,0,-2), \qquad \overrightarrow{AC}=(-2,2,0).$$

$$\cos \angle BAC= \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{2\cdot(-2)+0\cdot 2+(-2)\cdot 0}{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}.$$

Следовательно, $$\angle BAC=120^\circ.$$

Третий угол:

$$\angle ABC=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ.$$

Найдём площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{P}{2}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{6},$$
$$S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}.$$

Подставим:

$$S=\sqrt{(2\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{6})(\sqrt{6})(2\sqrt{2}-\sqrt{6})}.$$

$$(2\sqrt{2}+\sqrt{6})(2\sqrt{2}-\sqrt{6})=8-6=2,$$
поэтому
$$S=\sqrt{2\cdot 6}=2\sqrt{3}.$$

Ответ: $$\angle A=120^\circ,\ \angle B=30^\circ,\ \angle C=30^\circ,\ P=4\sqrt{2}+2\sqrt{6},\ S=2\sqrt{3}.$$