Упр.694 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; -1) и C (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами CA и CB.

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{CA}=(x_A-x_C,\; y_A-y_C,\; z_A-z_C)=(1-1,\; 3-2,\; 0-(-1))=(0,\;1,\;1)$$
$$\overrightarrow{CB}=(x_B-x_C,\; y_B-y_C,\; z_B-z_C)=(2-1,\; 3-2,\; -1-(-1))=(1,\;1,\;0)$$

Используем формулу скалярного произведения:

$$\cos \angle(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}$$

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:

$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=1$$
$$|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}$$
$$|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$$

Тогда

$$\cos \angle(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$

Следовательно,

$$\angle(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=60^\circ$$

Ответ

$$60^\circ$$