Упр.694 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A(1;3;0)$$, $$B(2;3;-1)$$ и $$C(1;2;-1)$$. Вычислите угол между векторами $$\overrightarrow{CA}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$.

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{CA}=A-C=(1-1;\,3-2;\,0-(-1))=(0;\,1;\,1),$$

$$\overrightarrow{CB}=B-C=(2-1;\,3-2;\,-1-(-1))=(1;\,1;\,0).$$

Скалярное произведение этих векторов равно

$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=1.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2},$$

$$|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\cos \angle ACB=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle ACB=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$