Упр.692 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вычислите угол между векторами: а) $$\vec a=(2;-2;0)$$ и $$\vec b=(3;0;-3)$$; б) $$\vec a=(\sqrt{2};\sqrt{2};2)$$ и $$\vec b=(-3;-3;0)$$; в) $$\vec a=(0;5;0)$$ и $$\vec b=(0;-\sqrt{3};1)$$; г) $$\vec a=(-2{,}5;2{,}5;0)$$ и $$\vec b=(-5;5;5^2)$$; д) $$\vec d=(-\sqrt{2};-\sqrt{2};-2)$$ H&j^;^;-lj.

Используем формулу для угла между векторами:

$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|},\qquad \vec a\cdot \vec b=x_a x_b+y_a y_b+z_a z_b.$$

а) $$\vec a=(2,-2,0),\quad \vec b=(3,0,-3).$$

$$\vec a\cdot \vec b=2\cdot 3+(-2)\cdot 0+0\cdot(-3)=6,$$
$$|\vec a|=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt8,\qquad |\vec b|=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}.$$
$$\cos\varphi=\frac{6}{\sqrt8\cdot \sqrt{18}}=\frac{6}{12}=\frac12,$$
значит, $$\varphi=60^\circ.$$

б) $$\vec a=(\sqrt2,\sqrt2,2),\quad \vec b=(-3,-3,0).$$

$$\vec a\cdot \vec b=\sqrt2\cdot(-3)+\sqrt2\cdot(-3)+2\cdot 0=-6\sqrt2,$$
$$|\vec a|=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2+2^2}=\sqrt8,\qquad |\vec b|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}.$$
$$\cos\varphi=\frac{-6\sqrt2}{\sqrt8\cdot \sqrt{18}}=\frac{-6\sqrt2}{12}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Следовательно, $$\varphi=135^\circ.$$

в) $$\vec a=(0,5,0),\quad \vec b=(0,-\sqrt3,1).$$

$$\vec a\cdot \vec b=0\cdot 0+5\cdot(-\sqrt3)+0\cdot 1=-5\sqrt3,$$
$$|\vec a|=\sqrt{0^2+5^2+0^2}=5,\qquad |\vec b|=\sqrt{0^2+(-\sqrt3)^2+1^2}=2.$$
$$\cos\varphi=\frac{-5\sqrt3}{5\cdot 2}=-\frac{\sqrt3}{2},$$
значит, $$\varphi=150^\circ.$$

г) $$\vec a=(-2{,}5,\,2{,}5,\,0),\quad \vec b=(-5,\,5,\,5\sqrt2).$$

$$\vec a\cdot \vec b=(-2{,}5)\cdot(-5)+2{,}5\cdot 5+0\cdot 5\sqrt2=25,$$
$$|\vec a|=\sqrt{(-2{,}5)^2+(2{,}5)^2+0^2}=\sqrt{12{,}5},$$
$$|\vec b|=\sqrt{(-5)^2+5^2+(5\sqrt2)^2}=\sqrt{25+25+50}=10.$$
$$\cos\varphi=\frac{25}{10\sqrt{12{,}5}}=\frac{\sqrt2}{2},$$
следовательно, $$\varphi=45^\circ.$$

д) $$\vec a=(-\sqrt2,-\sqrt2,-2),\quad \vec b=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2},-1\right).$$

$$\vec a\cdot \vec b=-\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}+(-2)\cdot(-1)=-1-1+2=0.$$
Значит,
$$\cos\varphi=0,$$
откуда $$\varphi=90^\circ.$$

Ответ: а) $$60^\circ$$; б) $$135^\circ$$; в) $$150^\circ$$; г) $$45^\circ$$; д) $$90^\circ$$.