Упр.692 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вычислите угол между векторами: а) а {2; -2; 0} и b {3; 0; -3}; б) а {V2; V2; 2} и b {-3; -3; 0}; в) а {0; 5; 0} и b {0; -V3; 1}; г) а {-2,5; 2,5; 0} и b {-5; 5; 5^2}; д) d {-V2; -V2; -2} H&j^;^;-lj.
Угол между векторами найдём по формуле
$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|},$$
где
$$\vec a\cdot \vec b=x_a x_b+y_a y_b+z_a z_b.$$
а) $$\vec a=(2,-2,0),\quad \vec b=(3,0,-3).$$
$$\vec a\cdot \vec b=2\cdot 3+(-2)\cdot 0+0\cdot (-3)=6,$$
$$|\vec a|=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8},\quad |\vec b|=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}.$$
$$\cos \varphi=\frac{6}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}}=\frac{6}{12}=\frac12,$$
значит,
$$\varphi=60^\circ.$$
б) $$\vec a=(\sqrt2,\sqrt2,2),\quad \vec b=(-3,-3,0).$$
$$\vec a\cdot \vec b=\sqrt2\cdot (-3)+\sqrt2\cdot (-3)+2\cdot 0=-6\sqrt2,$$
$$|\vec a|=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2+2^2}=\sqrt8,\quad |\vec b|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}.$$
$$\cos \varphi=\frac{-6\sqrt2}{\sqrt8\cdot \sqrt{18}}=\frac{-6\sqrt2}{12}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Следовательно,
$$\varphi=135^\circ.$$
в) $$\vec a=(0,5,0),\quad \vec b=(0,-\sqrt3,1).$$
$$\vec a\cdot \vec b=0\cdot 0+5\cdot (-\sqrt3)+0\cdot 1=-5\sqrt3,$$
$$|\vec a|=\sqrt{0^2+5^2+0^2}=5,\quad |\vec b|=\sqrt{0^2+(-\sqrt3)^2+1^2}=2.$$
$$\cos \varphi=\frac{-5\sqrt3}{5\cdot 2}=-\frac{\sqrt3}{2},$$
значит,
$$\varphi=150^\circ.$$
г) $$\vec a=(-2{,}5,\,2{,}5,\,0),\quad \vec b=(-5,\,5,\,5\sqrt2).$$
$$\vec a\cdot \vec b=(-2{,}5)\cdot (-5)+2{,}5\cdot 5+0\cdot 5\sqrt2=25,$$
$$|\vec a|=\sqrt{(-2{,}5)^2+(2{,}5)^2+0^2}=\sqrt{12{,}5},$$
$$|\vec b|=\sqrt{(-5)^2+5^2+(5\sqrt2)^2}=\sqrt{25+25+50}=10.$$
Тогда
$$\cos \varphi=\frac{25}{10\sqrt{12{,}5}}=\frac{\sqrt2}{2},$$
следовательно,
$$\varphi=45^\circ.$$
д) $$\vec a=(-\sqrt2,-\sqrt2,-2),\quad \vec b=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2},-1\right).$$
$$\vec a\cdot \vec b=-\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}+(-2)\cdot (-1)=-1-1+2=0.$$
Значит,
$$\cos \varphi=0,$$
откуда
$$\varphi=90^\circ.$$
Ответ
а) $$60^\circ$$; б) $$135^\circ$$; в) $$150^\circ$$; г) $$45^\circ$$; д) $$90^\circ$$.