Упр.691 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A(0; 1; 2)$$, $$B(\sqrt{2}; 1; 2)$$, $$C(\sqrt{2}; 2; 1)$$ и $$D(0; 2; 1)$$. Докажите, что $$ABCD$$ — квадрат.

Найдём координаты векторов сторон и диагоналей:

$$\overrightarrow{AB}=(\sqrt2-0,\;1-1,\;2-2)=(\sqrt2,\;0,\;0),$$
$$\overrightarrow{BC}=(\sqrt2-\sqrt2,\;2-1,\;1-2)=(0,\;1,\;-1),$$
$$\overrightarrow{CD}=(0-\sqrt2,\;2-2,\;1-1)=(-\sqrt2,\;0,\;0),$$
$$\overrightarrow{AD}=(0-0,\;2-1,\;1-2)=(0,\;1,\;-1).$$

Получаем, что $$\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$$ и $$\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{AD}$$, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Проверим, что один из его углов прямой:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\sqrt2\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot(-1)=0.$$

Следовательно, $$AB \perp AD$$, а значит, параллелограмм $$ABCD$$ является прямоугольником.

Теперь найдём длины соседних сторон:

$$|AB|=\sqrt{(\sqrt2)^2+0^2+0^2}=\sqrt2,$$
$$|AD|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt2.$$

У параллелограмма с прямым углом и равными соседними сторонами все стороны равны, значит, $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ: $$ABCD$$ — квадрат.