Упр.69 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через середины рёбер $$AB$$ и $$BC$$ тетраэдра $$SABC$$ проведена плоскость, параллельная ребру $$SB$$. Докажите, что эта плоскость пересекает грани $$SAB$$ и $$SBC$$ по параллельным прямым.

Обозначим точки пересечения плоскости с рёбрами $$SA$$ и $$SC$$ через $$P$$ и $$Q$$ соответственно, а середины рёбер $$AB$$ и $$BC$$ — через $$M$$ и $$N$$.

Рассмотрим грань $$SAB$$. Плоскость $$PMN$$ проходит через прямую $$MN$$, параллельную ребру $$SB$$, и пересекает плоскость $$SAB$$ по прямой $$PM$$. По теореме о линии пересечения плоскостей: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой. Значит, $$PM \parallel SB$$.

Аналогично, в грани $$SBC$$ плоскость $$PMN$$ пересекает её по прямой $$QN$$. Так как $$MN \parallel SB$$, то по той же теореме получаем $$QN \parallel SB$$.

Следовательно, две прямые $$PM$$ и $$QN$$ параллельны одной и той же прямой $$SB$$, а значит,

$$PM \parallel QN.$$

Что и требовалось доказать.