Упр.69 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через середины ребер AB и BC тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения плоскости с рёбрами $$SA$$ и $$SC$$ через $$P$$ и $$Q$$ соответственно. Тогда линия пересечения плоскости $$MNQ$$ с гранью $$SBC$$ — это прямая $$NQ$$, а с гранью $$SAB$$ — прямая $$PM$$.

Так как плоскость $$MNQ$$ проходит через прямую $$MN$$, параллельную ребру $$SB$$, и пересекает плоскость $$SBC$$ по прямой $$NQ$$, то по теореме о параллельных прямой и плоскости получаем:

$$NQ \parallel SB.$$

Аналогично, плоскость $$MNQ$$ проходит через прямую $$MN$$, параллельную $$SB$$, и пересекает плоскость $$SAB$$ по прямой $$PM$$, значит

$$PM \parallel SB.$$

Следовательно, две прямые $$PM$$ и $$NQ$$ параллельны одной и той же прямой $$SB$$, а значит, они параллельны между собой:

$$PM \parallel NQ.$$