Упр.688 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан вектор $$\vec a\{3;-5;0\}$$. Докажите, что:
   а) $$\angle(\vec a,\vec i)<90^\circ$$;
   б) $$\angle(\vec a,\vec j)>90^\circ$$;
   в) $$\angle(\vec a,\vec k)=90^\circ$$.

Скалярное произведение векторов связано с косинусом угла между ними формулой

$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}.$$

Значит, знак скалярного произведения определяет вид угла: если $$\vec a\cdot \vec b>0,$$ то угол острый; если $$\vec a\cdot \vec b<0,$$ то угол тупой; если $$\vec a\cdot \vec b=0,$$ то угол прямой.

Пусть $$\vec a=(3;\,-5;\,0),\quad \vec i=(1;\,0;\,0),\quad \vec j=(0;\,1;\,0),\quad \vec k=(0;\,0;\,1).$$

Вычислим скалярные произведения:

$$\vec a\cdot \vec i=3\cdot 1+(-5)\cdot 0+0\cdot 0=3>0,$$

следовательно, $$\angle(\vec a,\vec i)<90^\circ.$$

$$\vec a\cdot \vec j=3\cdot 0+(-5)\cdot 1+0\cdot 0=-5<0,$$

следовательно, $$\angle(\vec a,\vec j)>90^\circ.$$

$$\vec a\cdot \vec k=3\cdot 0+(-5)\cdot 0+0\cdot 1=0,$$

следовательно, $$\angle(\vec a,\vec k)=90^\circ.$$

Ответ: $$\angle(\vec a,\vec i)<90^\circ,\quad \angle(\vec a,\vec j)>90^\circ,\quad \angle(\vec a,\vec k)=90^\circ.$$