Упр.688 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан вектор а {3; -5; 0}. Докажите, что: а) ai < 90°; б) а j > 90°; в) ak = 90°.

Подробный ответ

Найдём скалярные произведения вектора $$\vec a=\{3;-5;0\}$$ с единичными векторами координатных осей $$\vec i=\{1;0;0\},\ \vec j=\{0;1;0\},\ \vec k=\{0;0;1\}.$$

Используем формулу:

$$\vec a\cdot \vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$$

Тогда

$$\vec a\cdot \vec i=3\cdot 1+(-5)\cdot 0+0\cdot 0=3>0,$$

значит, $$\cos \angle(\vec a,\vec i)>0,$$ следовательно, $$\angle(\vec a,\vec i)<90^\circ.$$

Далее

$$\vec a\cdot \vec j=3\cdot 0+(-5)\cdot 1+0\cdot 0=-5<0,$$

значит, $$\cos \angle(\vec a,\vec j)<0,$$ следовательно, $$\angle(\vec a,\vec j)>90^\circ.$$

Наконец,

$$\vec a\cdot \vec k=3\cdot 0+(-5)\cdot 0+0\cdot 1=0,$$

значит, $$\cos \angle(\vec a,\vec k)=0,$$ следовательно, $$\angle(\vec a,\vec k)=90^\circ.$$