Упр.687 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны векторы $$\vec a=\{3;-1;1\}$$, $$\vec b=\{-5;1;0\}$$ и $$\vec c=\{-1;-2;1\}$$. Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) $$\vec a$$ и $$\vec b$$; б) $$\vec b$$ и $$\vec c$$; в) $$\vec a$$ и $$\vec c$$.

Подробный ответ

Скалярное произведение векторов определяет знак косинуса угла между ними: если $$\vec u\cdot \vec v>0,$$ то угол острый; если $$\vec u\cdot \vec v=0,$$ то прямой; если $$\vec u\cdot \vec v<0,$$ то тупой.

Вычислим скалярные произведения:

$$\vec a\cdot \vec b=3\cdot(-5)+(-1)\cdot 1+1\cdot 0=-15-1=-16<0,$$ значит, угол между $$\vec a$$ и $$\vec b$$ тупой.

$$\vec b\cdot \vec c=(-5)\cdot(-1)+1\cdot(-2)+0\cdot 1=5-2=3>0,$$ значит, угол между $$\vec b$$ и $$\vec c$$ острый.

$$\vec a\cdot \vec c=3\cdot(-1)+(-1)\cdot(-2)+1\cdot 1=-3+2+1=0,$$ значит, угол между $$\vec a$$ и $$\vec c$$ прямой.

Ответ: а) тупой; б) острый; в) прямой.