Упр.684 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы

$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,a,0),\quad A_1(0,0,a).$$

Тогда

$$C(a,a,0),\quad B_1(a,0,a),\quad C_1(a,a,a),\quad D_1(0,a,a),\quad O_1\left(\frac a2,\frac a2,a\right).$$

Скалярное произведение найдём по формуле

$$\vec u\cdot \vec v=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$$

1. $$\overrightarrow{AD}=(0,a,0),\quad \overrightarrow{B_1C_1}=(0,a,0),$$

   $$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{B_1C_1}=0\cdot 0+a\cdot a+0\cdot 0=a^2.$$

2. $$\overrightarrow{AC}=(a,a,0),\quad \overrightarrow{C_1A_1}=(-a,-a,0),$$

   $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C_1A_1}=a(-a)+a(-a)+0\cdot 0=-2a^2.$$

3. $$\overrightarrow{D_1B}=(a,-a,-a),\quad \overrightarrow{AC}=(a,a,0),$$

   $$\overrightarrow{D_1B}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a+(-a)\cdot a+(-a)\cdot 0=0.$$

4. $$\overrightarrow{BA_1}=(-a,0,a),\quad \overrightarrow{BC_1}=(0,a,a),$$

   $$\overrightarrow{BA_1}\cdot \overrightarrow{BC_1}=(-a)\cdot 0+0\cdot a+a\cdot a=a^2.$$

5. $$\overrightarrow{A_1O_1}=\left(\frac a2,\frac a2,0\right),\quad \overrightarrow{A_1C_1}=(a,a,0),$$

   $$\overrightarrow{A_1O_1}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=\frac a2\cdot a+\frac a2\cdot a+0\cdot 0=a^2.$$

6. $$\overrightarrow{D_1O_1}=\left(\frac a2,-\frac a2,0\right),\quad \overrightarrow{B_1O_1}=\left(-\frac a2,\frac a2,0\right),$$

   $$\overrightarrow{D_1O_1}\cdot \overrightarrow{B_1O_1}=\frac a2\left(-\frac a2\right)+\left(-\frac a2\right)\frac a2+0\cdot 0=-\frac{a^2}{2}.$$

7. $$\overrightarrow{BO_1}=\left(-\frac a2,\frac a2,a\right),\quad \overrightarrow{C_1B}=(-a,-a,-a),$$

   $$\overrightarrow{BO_1}\cdot \overrightarrow{C_1B}=\left(-\frac a2\right)(-a)+\frac a2(-a)+a(-a)=-a^2.$$

Ответ: а) $$a^2$$; б) $$-2a^2$$; в) $$0$$; г) $$a^2$$; д) $$a^2$$; е) $$-\frac{a^2}{2}$$; ж) $$-a^2$$.