Упр.682 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите угол между векторами:

1. а) и $$B_1C$$; б) $$DA$$ и $$B_1D_1$$; в) $$A_1C_1$$ и $$A_1B$$; г) $$BC$$ и $$AC$$; д) $$BB_1$$ и $$AC$$; е) и $$AD_1$$; ж) $$A_1D_1$$ и $$BC$$; з) $$AA_1$$ и $$C_1C$$.

Обозначим ребро куба через $$a$$. Используем свойства параллельных и равных векторов, а также то, что угол между векторами не меняется при замене одного из них на сонаправленный, а при замене на противоположный дополняется до $$180^\circ$$.

1. $$\angle\bigl(\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{B_1C}\bigr)=\angle BB_1C=45^\circ$$, так как треугольник $$BB_1C$$ — равнобедренный прямоугольный.
2. $$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{D_1A_1},\quad \overrightarrow{B_1D_1}=\overrightarrow{DB}.$$ Тогда
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{B_1D_1}\bigr)=180^\circ-\angle A_1D_1B=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$
3. $$\overrightarrow{A_1C_1}$$ и $$\overrightarrow{A_1B}$$ лежат в одной грани куба, причём соответствуют диагонали и стороне квадрата, поэтому
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{A_1C_1},\overrightarrow{A_1B}\bigr)=\angle A_1A_1?$$

Исправим пункт 3 корректно: в квадрате $$A_1B_1C_1D_1$$ диагональ $$A_1C_1$$ образует со стороной $$A_1B_1$$ угол $$45^\circ$$, а $$\overrightarrow{A_1B}=\overrightarrow{A_1B_1}$$. Значит,
$$\angle\bigl(\overrightarrow{A_1C_1},\overrightarrow{A_1B}\bigr)=45^\circ.$$

4. $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{AC}$$ — диагональ квадрата $$ABCD$$, поэтому
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\bigr)=\angle DAC=45^\circ.$$
5. $$\overrightarrow{BB_1}\perp \overrightarrow{AC},$$ так как $$BB_1$$ перпендикулярен плоскости основания, а $$AC$$ лежит в этой плоскости. Следовательно,
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{BB_1},\overrightarrow{AC}\bigr)=90^\circ.$$
6. $$\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AD_1},$$ поэтому
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{B_1C_1},\overrightarrow{AD_1}\bigr)=0^\circ.$$
7. $$\overrightarrow{A_1D_1}=\overrightarrow{BC},$$ значит
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{A_1D_1},\overrightarrow{BC}\bigr)=0^\circ.$$
8. $$\overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{C_1C}$$ — противоположно направленные векторы, поэтому
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{C_1C}\bigr)=180^\circ.$$

Ответ: а) $$45^\circ$$; б) $$135^\circ$$; в) $$45^\circ$$; г) $$45^\circ$$; д) $$90^\circ$$; е) $$0^\circ$$; ж) $$0^\circ$$; з) $$180^\circ$$.