Упр.682 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан куб ABCDAiBiC1Di. Найдите угол между векторами: а) и B1C; б) DA и B1D1; в) A1C1 и A1B; г) BC и AC; д) BB1 и AC; e) и AD1; ж) A1D1 и ВС; з) AA1 и C1C.

Подробный ответ

Используем свойства векторов: если заменить один из векторов сонаправленным, угол между векторами не изменится; если заменить вектор противоположным, то угол дополнится до $$180^\circ$$. В кубе все рёбра попарно перпендикулярны, а диагонали квадратов образуют углы $$45^\circ$$ и $$90^\circ$$ в зависимости от расположения.

а) Векторы $$\overrightarrow{B_1B}$$ и $$\overrightarrow{B_1C}$$ лежат в равнобедренном прямоугольном треугольнике $$BB_1C$$, поэтому

$$\angle\left(\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{B_1C}\right)=\angle BB_1C=45^\circ.$$

б) Заменим $$\overrightarrow{DA}$$ на сонаправленный ему вектор $$\overrightarrow{B_1D_1}$$. Тогда

$$\angle\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{B_1D_1}\right)=180^\circ-\angle A_1D_1B_1.$$

Диагональ квадрата образует с его стороной угол $$45^\circ$$, значит

$$\angle A_1D_1B_1=45^\circ,$$

откуда

$$\angle\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{B_1D_1}\right)=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$

в) Векторы $$\overrightarrow{A_1C_1}$$ и $$\overrightarrow{A_1B}$$ совпадают со сторонами равностороннего треугольника $$A_1A B$$? Нет, здесь удобнее заметить, что в кубе диагональ грани $$A_1C_1$$ и ребро $$A_1B$$ образуют угол $$60^\circ$$.

Следовательно,

$$\angle\left(\overrightarrow{A_1C_1},\overrightarrow{A_1B}\right)=60^\circ.$$

г) $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$$, поэтому

$$\angle\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\right)=\angle DAC=45^\circ.$$

д) $$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1}$$, а векторы $$\overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ лежат в прямоугольнике $$AA_1CC_1$$ и перпендикулярны, значит

$$\angle\left(\overrightarrow{BB_1},\overrightarrow{AC}\right)=90^\circ.$$

е) $$\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AD_1}$$, поэтому угол между $$\overrightarrow{B_1C_1}$$ и $$\overrightarrow{AD_1}$$ равен углу между одинаково направленными векторами:

$$\angle\left(\overrightarrow{B_1C_1},\overrightarrow{AD_1}\right)=0^\circ.$$

ж) $$\overrightarrow{A_1D_1}=\overrightarrow{BC}$$, следовательно

$$\angle\left(\overrightarrow{A_1D_1},\overrightarrow{BC}\right)=0^\circ.$$

з) Векторы $$\overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{C_1C}$$ противоположно направлены, поэтому

$$\angle\left(\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{C_1C}\right)=180^\circ.$$