Упр.681 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы:
а) $$x^2-4x+y^2+z^2=0$$;
б) $$x^2+y^2+z^2-2y=24$$;
в) $$x^2+2x+y^2+z^2=3$$;
г) $$x^2-x+y^2+3y+z^2-2z=2{,}5$$.
Приведём каждое уравнение к виду $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=R^2.$$ Тогда сразу видно, что это уравнение сферы, а также находятся её центр и радиус.
$$x^2-4x+y^2+z^2=0$$
Дополняем до квадрата:
$$x^2-4x+4+y^2+z^2=4$$
$$\left(x-2\right)^2+y^2+z^2=4$$
Это сфера с центром $$\left(2;0;0\right)$$ и радиусом $$R=2.$$
$$x^2+y^2+z^2-2y=24$$
Дополняем до квадрата:
$$x^2+y^2-2y+1+z^2=25$$
$$x^2+\left(y-1\right)^2+z^2=25$$
Это сфера с центром $$\left(0;1;0\right)$$ и радиусом $$R=5.$$
$$x^2+2x+y^2+z^2=3$$
Дополняем до квадрата:
$$x^2+2x+1+y^2+z^2=4$$
$$\left(x+1\right)^2+y^2+z^2=4$$
Это сфера с центром $$\left(-1;0;0\right)$$ и радиусом $$R=2.$$
$$x^2-x+y^2+3y+z^2-2z=2{,}5$$
Дополняем до квадратов:
$$x^2-x+\frac14+\;y^2+3y+\frac94+\;z^2-2z+1=2{,}5+\frac14+\frac94+1$$
$$\left(x-\frac12\right)^2+\left(y+\frac32\right)^2+\left(z-1\right)^2=6$$
Следовательно, это сфера с центром $$\left(\frac12;-\frac32;1\right)$$ и радиусом $$R=\sqrt6.$$
