Упр.681 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) x2 — 4x + у2 + z2 = 0; б) x2 + у2 + z2 — 2у = 24; в) x2 + 2x + + у2 + 22 = 3; г) *2 — x + у2 + 3у + z2 — 2z = 2,5.

Приведём каждое уравнение к виду $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=R^2.$$ Тогда сразу видно, что это уравнение сферы, а её центр имеет координаты $$\left(a,b,c\right),$$ радиус равен $$R.$$

а) $$x^2-4x+y^2+z^2=0.$$

Дополняем до квадрата по переменной $$x$$:

$$ x^2-4x+y^2+z^2=(x^2-4x+4)+y^2+z^2-4 $$
$$ (x-2)^2+y^2+z^2=4. $$

Это сфера с центром $$\left(2,0,0\right)$$ и радиусом $$R=2.$$

б) $$x^2+y^2+z^2-2y=24.$$

Дополняем до квадрата по переменной $$y$$:

$$ x^2+y^2-2y+z^2=24 $$
$$ x^2+\left(y^2-2y+1\right)+z^2=25 $$
$$ x^2+\left(y-1\right)^2+z^2=25. $$

Это сфера с центром $$\left(0,1,0\right)$$ и радиусом $$R=5.$$

в) $$x^2+2x+y^2+z^2=3.$$

Дополняем до квадрата по переменной $$x$$:

$$ x^2+2x+y^2+z^2=3 $$
$$ \left(x^2+2x+1\right)+y^2+z^2=4 $$
$$ \left(x+1\right)^2+y^2+z^2=4. $$

Это сфера с центром $$\left(-1,0,0\right)$$ и радиусом $$R=2.$$

г) $$x^2-x+y^2+3y+z^2-2z=2{,}5.$$

Дополняем до квадратов по всем переменным:

$$ x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}, \qquad y^2+3y=\left(y+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}, \qquad z^2-2z=(z-1)^2-1. $$

Тогда

$$ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+(z-1)^2-1=2{,}5 $$
$$ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2+(z-1)^2=2{,}5+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+1=6. $$

Следовательно, это сфера с центром $$\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2},1\right)$$ и радиусом $$R=\sqrt{6}.$$

Ответ

а) центр $$\left(2,0,0\right),$$ $$R=2$$;
б) центр $$\left(0,1,0\right),$$ $$R=5$$;
в) центр $$\left(-1,0,0\right),$$ $$R=2$$;
г) центр $$\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2},1\right),$$ $$R=\sqrt{6}.$$