Упр.68 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$AC$$ тетраэдра $$ABCD$$. Докажите, что прямая $$MN$$ параллельна плоскости $$BCD$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$AC$$, значит, $$MN$$ — средняя линия треугольника.

По свойству средней линии треугольника имеем:

$$MN \parallel BC.$$

Прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$BCD$$, а прямая $$MN$$ не лежит в этой плоскости. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая параллельна какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна и самой плоскости, получаем:

$$MN \parallel (BCD).$$

Что и требовалось доказать.