Упр.677 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезок $$CD$$ длины $$m$$ перпендикулярен к плоскости прямоугольного треугольника $$ABC$$ с катетами $$AC=b$$ и $$BC=a$$. Введите подходящую систему координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками найдите расстояние от точки $$D$$ до середины гипотенузы этого треугольника.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка $$C$$ была началом координат, ось $$Ox$$ совпадала с прямой $$CA$$, ось $$Oy$$ — с прямой $$CB$$, а ось $$Oz$$ — с прямой $$CD$$. Тогда

$$C(0;0;0), \quad A(b;0;0), \quad B(0;a;0), \quad D(0;0;m).$$

Пусть $$S$$ — середина гипотенузы $$AB$$. Тогда по формуле координат середины отрезка

$$S\left(\frac{b+0}{2};\frac{0+a}{2};\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac{b}{2};\frac{a}{2};0\right).$$

Найдём расстояние между точками $$D$$ и $$S$$:

$$DS=\sqrt{\left(\frac{b}{2}-0\right)^2+\left(\frac{a}{2}-0\right)^2+(0-m)^2} =\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^2}{4}+m^2} =\frac{\sqrt{a^2+b^2+4m^2}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{a^2+b^2+4m^2}}{2}$$.