Упр.676 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны точки O (0; 0; 0), A (4; 0; 0), B (0; 6; 0), C (0; 0; -2). Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника AOB; б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра OABC.

Точки $$O(0;0;0),\ A(4;0;0),\ B(0;6;0)$$ лежат в плоскости $$Oxy$$, значит треугольник $$AOB$$ расположен в этой плоскости. Пусть центр описанной окружности — точка $$D(x;y;0)$$.

Так как $$DA=DB=DO$$, составим уравнения:

$$ DA^2=(x-4)^2+y^2, \quad DB^2=x^2+(y-6)^2, \quad DO^2=x^2+y^2. $$

Из равенства $$DA=DO$$ получаем:

$$ (x-4)^2+y^2=x^2+y^2 $$
$$ x^2-8x+16=x^2 $$
$$ 8x=16 $$
$$ x=2. $$

Из равенства $$DB=DO$$ получаем:

$$ x^2+(y-6)^2=x^2+y^2 $$
$$ y^2-12y+36=y^2 $$
$$ 12y=36 $$
$$ y=3. $$

Следовательно, центр описанной окружности треугольника $$AOB$$ имеет координаты $$D(2;3;0)$$.

Найдём радиус:

$$ R=DO=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}. $$

Теперь найдём точку, равноудалённую от вершин тетраэдра $$OABC$$. Пусть это точка $$P(x;y;z)$$. Тогда

$$ PO=PA=PB=PC. $$

Запишем равенства квадратов расстояний:

$$ PO^2=x^2+y^2+z^2, $$
$$ PA^2=(x-4)^2+y^2+z^2, $$
$$ PB^2=x^2+(y-6)^2+z^2, $$
$$ PC^2=x^2+y^2+(z+2)^2. $$

Из равенства $$PO^2=PA^2$$:

$$ x^2+y^2+z^2=(x-4)^2+y^2+z^2 $$
$$ x^2=x^2-8x+16 $$
$$ 8x=16 $$
$$ x=2. $$

Из равенства $$PO^2=PB^2$$:

$$ x^2+y^2+z^2=x^2+(y-6)^2+z^2 $$
$$ y^2=y^2-12y+36 $$
$$ 12y=36 $$
$$ y=3. $$

Из равенства $$PO^2=PC^2$$:

$$ x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+(z+2)^2 $$
$$ z^2=z^2+4z+4 $$
$$ 4z=-4 $$
$$ z=-1. $$

Итак, искомая точка имеет координаты $$P(2;3;-1)$$.

Ответ

а) $$D(2;3;0)$$, $$R=\sqrt{13}$$;

б) $$P(2;3;-1)$$.