Упр.676 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$O(0; 0; 0)$$, $$A(4; 0; 0)$$, $$B(0; 6; 0)$$, $$C(0; 0; -2)$$. Найдите:
   а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника $$AOB$$;
   б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра $$OABC$$.

Обозначим искомую точку через $$D(x;y;z)$$.

а)

Точки $$O(0;0;0)$$, $$A(4;0;0)$$ и $$B(0;6;0)$$ лежат в плоскости $$Oxy$$, значит, центр описанной около треугольника $$AOB$$ окружности тоже лежит в этой плоскости. Поэтому пусть

$$D(x;y;0).$$

Так как $$DA=DB=DO,$$ составим уравнения:

$$\begin{aligned} DO^2&=x^2+y^2,\\ DA^2&=(x-4)^2+y^2,\\ DB^2&=x^2+(y-6)^2. \end{aligned}$$

Из равенства $$DO^2=DA^2$$ получаем:

$$x^2+y^2=(x-4)^2+y^2=x^2-8x+16+y^2,$$

откуда $$8x=16,$$ значит, $$x=2.$$

Из равенства $$DO^2=DB^2$$ имеем:

$$x^2+y^2=x^2+(y-6)^2=x^2+y^2-12y+36,$$

откуда $$12y=36,$$ значит, $$y=3.$$

Следовательно, центр окружности:

$$D(2;3;0).$$

Радиус окружности:

$$R=DO=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$$

б)

Пусть точка $$P(x;y;z)$$ равноудалена от вершин тетраэдра $$OABC.$$ Тогда

$$PO=PA=PB=PC.$$

Запишем квадраты расстояний:

$$\begin{aligned} PO^2&=x^2+y^2+z^2,\\ PA^2&=(x-4)^2+y^2+z^2,\\ PB^2&=x^2+(y-6)^2+z^2,\\ PC^2&=x^2+y^2+(z+2)^2. \end{aligned}$$

Из равенства $$PO^2=PA^2$$ получаем:

$$x^2+y^2+z^2=(x-4)^2+y^2+z^2=x^2-8x+16+y^2+z^2,$$

откуда $$8x=16,$$ значит, $$x=2.$$

Из равенства $$PO^2=PB^2$$ имеем:

$$x^2+y^2+z^2=x^2+(y-6)^2+z^2=x^2+y^2-12y+36+z^2,$$

откуда $$12y=36,$$ значит, $$y=3.$$

Из равенства $$PO^2=PC^2$$ получаем:

$$x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+(z+2)^2=x^2+y^2+z^2+4z+4,$$

откуда $$4z+4=0,$$ значит, $$z=-1.$$

Итак, искомая точка:

$$P(2;3;-1).$$

Ответ

а) $$D(2;3;0),\quad R=\sqrt{13}.$$
б) $$P(2;3;-1).$$