Упр.675 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A(-1; 2; 3)$$, $$B(-2; 1; 2)$$ и $$C(0; -1; 1)$$. Найдите точку, равноудалённую от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) $$Oxy$$; б) $$Oyz$$; в) $$Ozx$$.

Пусть искомая точка имеет координаты $$K(x;y;0)$$ на плоскости $$Oxy$$. Тогда она равноудалена от точек $$A(-1;2;3)$$, $$B(-2;1;2)$$ и $$C(0;-1;1)$$, значит

$$KA=KB=KC.$$

Используем формулу расстояния между точками.

$$KA^2=(x+1)^2+(y-2)^2+9,$$
$$KB^2=(x+2)^2+(y-1)^2+4,$$
$$KC^2=x^2+(y+1)^2+1.$$

Из равенств $$KA^2=KB^2$$ и $$KA^2=KC^2$$ получаем систему:

$$\begin{cases} (x+1)^2+(y-2)^2+9=(x+2)^2+(y-1)^2+4,\\ (x+1)^2+(y-2)^2+9=x^2+(y+1)^2+1. \end{cases}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$\begin{cases} 2x-2y+5=0,\\ 2x-6y+13=0. \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$-4y+8=0 \quad \Rightarrow \quad y=2.$$

Тогда из $$2x-2y+5=0$$ получаем

$$2x-4+5=0 \quad \Rightarrow \quad 2x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac12.$$

Следовательно, на плоскости $$Oxy$$ искомая точка:

$$K\left(-\frac12;2;0\right).$$

Аналогично для плоскости $$Oyz$$ пусть $$L(0;y;z)$$. Тогда

$$LA=LB=LC.$$

После составления и решения системы получаем:

$$L\left(0;1;\frac32\right).$$

Для плоскости $$Ozx$$ пусть $$M(x;0;z)$$. Тогда

$$MA=MB=MC.$$

Решая соответствующую систему, находим:

$$M\left(-\frac13;0;\frac{17}{6}\right).$$

Ответ

а) $$\left(-\frac12;2;0\right)$$; б) $$\left(0;1;\frac32\right)$$; в) $$\left(-\frac13;0;\frac{17}{6}\right)$$.