Упр.674 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите точку, равноудаленную от точек $$A(-2; 3; 5)$$ и $$B(3; 2; -3)$$ и расположенную на оси: а) $$Ox$$; б) $$Oy$$; в) $$Oz$$.

Подробный ответ

Пусть искомая точка лежит на одной из координатных осей. Тогда её координаты имеют вид:

на оси $$Ox$$ — $$P(x;0;0)$$;
на оси $$Oy$$ — $$P(0;y;0)$$;
на оси $$Oz$$ — $$P(0;0;z)$$.

Точка должна быть равноудалена от $$A(-2;3;5)$$ и $$B(3;2;-3)$$, значит, в каждом случае приравниваем расстояния до этих точек.

а) Точка на оси $$Ox$$

$$PA^2=(x+2)^2+(0-3)^2+(0-5)^2=(x+2)^2+34$$
$$PB^2=(x-3)^2+(0-2)^2+(0+3)^2=(x-3)^2+13$$
$$(x+2)^2+34=(x-3)^2+13$$
$$x^2+4x+38=x^2-6x+22$$
$$10x=-16,\qquad x=-\frac{8}{5}$$

Следовательно, $$P\left(-\frac{8}{5};0;0\right)$$.

б) Точка на оси $$Oy$$

$$PA^2=(0+2)^2+(y-3)^2+(0-5)^2=(y-3)^2+29$$
$$PB^2=(0-3)^2+(y-2)^2+(0+3)^2=(y-2)^2+18$$
$$(y-3)^2+29=(y-2)^2+18$$
$$y^2-6y+38=y^2-4y+22$$
$$-2y=-16,\qquad y=8$$

Следовательно, $$P(0;8;0)$$.

в) Точка на оси $$Oz$$

$$PA^2=(0+2)^2+(0-3)^2+(z-5)^2=(z-5)^2+13$$
$$PB^2=(0-3)^2+(0-2)^2+(z+3)^2=(z+3)^2+13$$
$$(z-5)^2+13=(z+3)^2+13$$
$$z^2-10z+25=z^2+6z+9$$
$$-16z=-16,\qquad z=1$$

Следовательно, $$P(0;0;1)$$.

Ответ: $$\left(-\frac{8}{5};0;0\right),\ (0;8;0),\ (0;0;1)$$.