Упр.673 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны точки $$A(4; 4; 0)$$, $$B(0; 0; 0)$$, $$C(0; 3; 4)$$ и $$D(1; 4; 4)$$. Докажите, что $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция.

Подробный ответ

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(0-4)^2+(0-4)^2+(0-0)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2},$$
$$BC=\sqrt{(0-0)^2+(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{25}=5,$$
$$CD=\sqrt{(1-0)^2+(4-3)^2+(4-4)^2}=\sqrt{2},$$
$$DA=\sqrt{(4-1)^2+(4-4)^2+(0-4)^2}=\sqrt{25}=5.$$

Получили, что $$BC=DA=5$$, то есть боковые стороны равны.

Теперь проверим параллельность противоположных сторон. Найдём векторы:

$$\overrightarrow{AB}=(0-4,\;0-4,\;0-0)=(-4,-4,0),$$
$$\overrightarrow{CD}=(1-0,\;4-3,\;4-4)=(1,1,0).$$

Векторы пропорциональны:

$$\overrightarrow{AB}=-4\,\overrightarrow{CD},$$
значит, $$AB \parallel CD$$.

Итак, у четырёхугольника $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон параллельна, а боковые стороны равны. Следовательно, $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция.

Ответ: $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция.