Упр.673 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны точки A (4; 4; 0), B (0; 0; 0), C (0; 3; 4) и D (1; 4; 4). Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция.

Подробный ответ

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками в пространстве:

$$ |PQ|=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2} $$

$$ |AB|=\sqrt{(0-4)^2+(0-4)^2+(0-0)^2}=\sqrt{32} $$

$$ |BC|=\sqrt{(0-0)^2+(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{25}=5 $$

$$ |CD|=\sqrt{(1-0)^2+(4-3)^2+(4-4)^2}=\sqrt{2} $$

$$ |DA|=\sqrt{(4-1)^2+(4-4)^2+(0-4)^2}=\sqrt{25}=5 $$

Получили, что $$BC=DA=5$$.

Теперь докажем, что $$AB \parallel CD$$. Найдём координаты векторов:

$$ \overrightarrow{AB}=(0-4,\;0-4,\;0-0)=(-4,\,-4,\,0) $$

$$ \overrightarrow{CD}=(1-0,\;4-3,\;4-4)=(1,\,1,\,0) $$

Векторы пропорциональны:

$$ \overrightarrow{AB}=-4\cdot \overrightarrow{CD} $$

Следовательно, $$AB \parallel CD$$.

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон параллельна, а другая пара противоположных сторон равна. Значит, $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция.