Упр.672 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A(1; 0; k)$$, $$B(-1; 2; 3)$$ и $$C(0; 0; 1)$$. При каких значениях $$k$$ треугольник $$ABC$$ является равнобедренным?

Найдём квадраты длин сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB^2=( -1-1)^2+(2-0)^2+(3-k)^2=4+4+(3-k)^2=8+(3-k)^2,$$

$$AC^2=(0-1)^2+(0-0)^2+(1-k)^2=1+(1-k)^2,$$

$$BC^2=(0+1)^2+(0-2)^2+(1-3)^2=1+4+4=9.$$

Треугольник равнобедренный, если равны две его стороны. Рассмотрим возможные случаи.

1. $$AB=AC.$$ Тогда

   $$8+(3-k)^2=1+(1-k)^2.$$

   $$8+k^2-6k+9=1+k^2-2k+1,$$

   $$17-6k=2-2k,$$

   $$15=4k,\quad k=\frac{15}{4}.$$

2. $$AC=BC.$$ Тогда

   $$1+(1-k)^2=9.$$

   $$1+k^2-2k+1=9,$$

   $$k^2-2k-7=0.$$

   $$D=4+28=32,$$

   $$k=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2}=1\pm2\sqrt{2}.$$

3. $$AB=BC.$$ Тогда

   $$8+(3-k)^2=9.$$

   $$8+k^2-6k+9=9,$$

   $$k^2-6k+8=0,$$

   $$k=2 \text{ или } k=4.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ является равнобедренным при

$$k\in\left\{\frac{15}{4},\,1-2\sqrt{2},\,1+2\sqrt{2},\,2,\,4\right\}.$$

Ответ: $$k=\frac{15}{4},\ 1-2\sqrt{2},\ 1+2\sqrt{2},\ 2,\ 4.$$