Упр.67 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре DABC дано: ZADB = 540, ZBDC = 720, ZCDA = 90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания ABC данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.

Так как $$\angle CDA=90^\circ$$, треугольник $$CDA$$ прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора

$$ AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29\text{ см}. $$

Площадь грани $$CDA$$:

$$ S_{CDA}=\frac12\cdot AD\cdot DC=\frac12\cdot 20\cdot 21=210\text{ см}^2. $$

Найдём ребро $$AB$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ADB$$:

$$ AB^2=AD^2+BD^2-2\cdot AD\cdot BD\cdot \cos\angle ADB. $$

Так как $$\angle ADB=54^\circ$$, то

$$ AB^2=20^2+18^2-2\cdot 20\cdot 18\cdot \cos54^\circ $$

$$ AB^2=400+324-720\cdot 0.5878\approx 301.8, $$

откуда

$$ AB\approx \sqrt{301.8}\approx 17.4\text{ см}. $$

Теперь найдём ребро $$BC$$ по теореме косинусов в треугольнике $$BDC$$:

$$ BC^2=BD^2+DC^2-2\cdot BD\cdot DC\cdot \cos\angle BDC. $$

Так как $$\angle BDC=72^\circ$$, то

$$ BC^2=18^2+21^2-2\cdot 18\cdot 21\cdot \cos72^\circ $$

$$ BC^2=324+441-756\cdot 0.3090\approx 531.4, $$

следовательно,

$$ BC\approx \sqrt{531.4}\approx 23.0\text{ см}. $$

Площадь грани $$ABD$$ найдём по формуле площади через две стороны и угол между ними:

$$ S_{ABD}=\frac12\cdot AD\cdot BD\cdot \sin\angle ADB =\frac12\cdot 20\cdot 18\cdot \sin54^\circ. $$

$$ S_{ABD}=180\cdot 0.8090\approx 145.6\text{ см}^2. $$

Площадь грани $$BDC$$:

$$ S_{BDC}=\frac12\cdot BD\cdot DC\cdot \sin\angle BDC =\frac12\cdot 18\cdot 21\cdot \sin72^\circ. $$

$$ S_{BDC}=189\cdot 0.9511\approx 179.7\text{ см}^2. $$

Итак, ребра основания $$ABC$$ равны $$AB\approx 17.4\text{ см}$$, $$BC\approx 23.0\text{ см}$$, $$AC=29\text{ см}$$.

Площади боковых граней:

$$ S_{ABD}\approx 145.6\text{ см}^2,\quad S_{BDC}\approx 179.7\text{ см}^2,\quad S_{CDA}=210\text{ см}^2. $$

Ответ

$$AB\approx 17.4\text{ см},\ BC\approx 23.0\text{ см},\ AC=29\text{ см};$$

$$S_{ABD}\approx 145.6\text{ см}^2,\ S_{BDC}\approx 179.7\text{ см}^2,\ S_{CDA}=210\text{ см}^2.$$