Упр.67 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $$DABC$$ дано: $$\angle ADB=54^\circ$$, $$\angle BDC=72^\circ$$, $$\angle CDA=90^\circ$$, $$DA=20\text{ см}$$, $$BD=18\text{ см}$$, $$DC=21\text{ см}$$. Найдите: а) рёбра основания $$ABC$$ данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.

Подробный ответ

Грань $$CDA$$ — прямоугольный треугольник, так как $$\angle CDA=90^\circ$$. Тогда по теореме Пифагора

$$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=29\text{ см}.$$

Площадь этой грани:

$$S_{CDA}=\frac12\cdot AD\cdot CD=\frac12\cdot 20\cdot 21=210\text{ см}^2.$$

Найдём остальные рёбра основания по теореме косинусов.

В треугольнике $$ADB$$:

$$AB^2=AD^2+BD^2-2\cdot AD\cdot BD\cdot \cos\angle ADB$$

$$AB^2=20^2+18^2-2\cdot 20\cdot 18\cdot \cos 54^\circ$$

$$AB^2\approx 400+324-720\cdot 0.5878\approx 301,$$

откуда

$$AB\approx \sqrt{301}\approx 17.3\text{ см}.$$

В треугольнике $$BDC$$:

$$BC^2=BD^2+CD^2-2\cdot BD\cdot CD\cdot \cos\angle BDC$$

$$BC^2=18^2+21^2-2\cdot 18\cdot 21\cdot \cos 72^\circ$$

$$BC^2\approx 324+441-756\cdot 0.3090\approx 531,$$

значит

$$BC\approx \sqrt{531}\approx 23.0\text{ см}.$$

Теперь найдём площади боковых граней.

Для треугольника $$ABD$$:

$$S_{ABD}=\frac12\cdot AD\cdot BD\cdot \sin\angle ADB =\frac12\cdot 20\cdot 18\cdot \sin 54^\circ$$

$$S_{ABD}\approx 180\cdot 0.8090\approx 145.6\text{ см}^2.$$

Для треугольника $$BDC$$:

$$S_{BDC}=\frac12\cdot BD\cdot CD\cdot \sin\angle BDC =\frac12\cdot 18\cdot 21\cdot \sin 72^\circ$$

$$S_{BDC}\approx 189\cdot 0.9511\approx 179.7\text{ см}^2.$$

Итак, все боковые грани найдены:

$$S_{CDA}=210\text{ см}^2,\quad S_{ABD}\approx 145.6\text{ см}^2,\quad S_{BDC}\approx 179.7\text{ см}^2.$$

Ответ: $$AB\approx 17.3\text{ см},\ BC\approx 23.0\text{ см},\ AC=29\text{ см};\ S_{ABD}\approx 145.6\text{ см}^2,\ S_{BDC}\approx 179.7\text{ см}^2,\ S_{CDA}=210\text{ см}^2.$$