Упр.668 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Определите вид треугольника $$ABC$$, если: а) $$A(9; 3; -5),\ B(2; 10; -5),\ C(2; 3; 2)$$; б) $$A(3; 7; -4),\ B(5; -3; 2),\ C(1; 3; -10)$$; в) $$A(5; -5; -1),\ B(5; -3; -1),\ C(4; -3; 0)$$; г) $$A(-5; 2; 0),\ B(-4; 3; 0),\ C(-5; 2; -2)$$.

Найдём длины сторон каждого треугольника по формуле расстояния между точками в пространстве:

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$

а)

$$AB=\sqrt{(2-9)^2+(10-3)^2+(-5+5)^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt{2}$$

$$AC=\sqrt{(2-9)^2+(3-3)^2+(2+5)^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt{2}$$

$$BC=\sqrt{(2-2)^2+(3-10)^2+(2+5)^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt{2}$$

Следовательно, $$AB=AC=BC$$, значит, $$\triangle ABC$$ — равносторонний.

б)

$$AB=\sqrt{(5-3)^2+(-3-7)^2+(2+4)^2}=\sqrt{4+100+36}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}$$

$$AC=\sqrt{(1-3)^2+(3-7)^2+(-10+4)^2}=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$$

$$BC=\sqrt{(1-5)^2+(3+3)^2+(-10-2)^2}=\sqrt{16+36+144}=\sqrt{196}=14$$

Проверим теорему Пифагора:

$$AB^2+AC^2=140+56=196=BC^2$$

Значит, $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle A=90^\circ$$.

в)

$$AB=\sqrt{(5-5)^2+(-3+5)^2+(-1+1)^2}=\sqrt{4}=2$$

$$AC=\sqrt{(4-5)^2+(-3+5)^2+(0+1)^2}=\sqrt{6}$$

$$BC=\sqrt{(4-5)^2+(-3+3)^2+(0+1)^2}=\sqrt{2}$$

Проверим:

$$AB^2+BC^2=4+2=6=AC^2$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle B=90^\circ$$.

г)

$$AB=\sqrt{(-4+5)^2+(3-2)^2+(0-0)^2}=\sqrt{2}$$

$$AC=\sqrt{(-5+5)^2+(2-2)^2+(-2-0)^2}=2$$

$$BC=\sqrt{(-5+4)^2+(2-3)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{6}$$

Проверим:

$$AB^2+AC^2=2+4=6=BC^2$$

Значит, $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle A=90^\circ$$.

Ответ

а) равносторонний; б) прямоугольный, $$\angle A=90^\circ$$; в) прямоугольный, $$\angle B=90^\circ$$; г) прямоугольный, $$\angle A=90^\circ$$.