Упр.667 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны точки $$A(1;1;-2)$$, $$B(2;2;-3)$$ и $$C(2;0;-1)$$. Найдите: а) периметр треугольника $$ABC$$; б) медианы треугольника $$ABC$$.
Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками в пространстве:
$$AB=\sqrt{(2-\tfrac32)^2+(2-1)^2+(-3-(-2))^2} =\sqrt{\left(\tfrac12\right)^2+1^2+(-1)^2} =\sqrt{\tfrac94}=\tfrac32$$
$$BC=\sqrt{(2-2)^2+(0-2)^2+(-1-(-3))^2} =\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2} =\sqrt8=2\sqrt2$$
$$CA=\sqrt{(\tfrac32-2)^2+(1-0)^2+(-2-(-1))^2} =\sqrt{\left(-\tfrac12\right)^2+1^2+(-1)^2} =\sqrt{\tfrac94}=\tfrac32$$
Тогда периметр треугольника:
$$P_{ABC}=AB+BC+CA=\tfrac32+2\sqrt2+\tfrac32=3+2\sqrt2.$$
Теперь найдём медианы. Сначала вычислим середины сторон:
$$M_a\left(\frac{2+2}{2};\frac{2+0}{2};\frac{-3+(-1)}{2}\right)=(2;1;-2)$$
$$M_b\left(\frac{\tfrac32+2}{2};\frac{1+0}{2};\frac{-2+(-1)}{2}\right)=\left(\tfrac74;\tfrac12;-\tfrac32\right)$$
$$M_c\left(\frac{\tfrac32+2}{2};\frac{1+2}{2};\frac{-2+(-3)}{2}\right)=\left(\tfrac74;\tfrac32;-\tfrac52\right)$$
Длины медиан равны:
$$AM_a=\sqrt{(2-\tfrac32)^2+(1-1)^2+(-2-(-2))^2} =\sqrt{\left(\tfrac12\right)^2}=\tfrac12$$
$$BM_b=\sqrt{\left(\tfrac74-2\right)^2+\left(\tfrac12-2\right)^2+\left(-\tfrac32-(-3)\right)^2} =\sqrt{\left(-\tfrac14\right)^2+\left(-\tfrac32\right)^2+\left(\tfrac32\right)^2} =\sqrt{\tfrac{73}{16}}=\tfrac{\sqrt{73}}{4}$$
$$CM_c=\sqrt{\left(\tfrac74-2\right)^2+\left(\tfrac32-0\right)^2+\left(-\tfrac52-(-1)\right)^2} =\sqrt{\left(-\tfrac14\right)^2+\left(\tfrac32\right)^2+\left(-\tfrac32\right)^2} =\sqrt{\tfrac{73}{16}}=\tfrac{\sqrt{73}}{4}$$
Ответ: $$P_{ABC}=3+2\sqrt2$$; медианы: $$AM_a=\tfrac12,\; BM_b=\tfrac{\sqrt{73}}{4},\; CM_c=\tfrac{\sqrt{73}}{4}.$$
