Упр.665 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны векторы $$\vec a=(3;-2;1)$$, $$\vec b=(-2;3;1)$$ и $$\vec c=(-3;2;1)$$. Найдите:

а) $$|\vec a+\vec b|$$; б) $$|\vec a|+|\vec b|$$; в) $$|\vec a|-|\vec b|$$; г) $$|\vec a-\vec b|$$; д) $$|3\vec c|$$; е) $$\sqrt{|\vec c|}$$; ж) $$|2\vec a-3\vec c|$$.

Воспользуемся формулой длины вектора $$\vec{u}=(x;y;z):\quad |\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Найдём по пунктам:

1. $$|\vec a+\vec b|=\sqrt{(3+(-2))^2+(-2+3)^2+(1+1)^2}=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt6.$$
2. $$|\vec a|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{14},\qquad |\vec b|=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}.$$
   
   Тогда
   $$|\vec a|+|\vec b|=2\sqrt{14}.$$
3. $$|\vec a|-|\vec b|=\sqrt{14}-\sqrt{14}=0.$$
4. $$|\vec a-\vec b|=\sqrt{(3-(-2))^2+(-2-3)^2+(1-1)^2}=\sqrt{5^2+(-5)^2+0^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2.$$
5. $$|3\vec c|=\sqrt{(-9)^2+6^2+3^2}=\sqrt{81+36+9}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}.$$
6. $$\sqrt{14}\,|\vec c|=\sqrt{14}\cdot\sqrt{(-3)^2+2^2+1^2}=\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}=14.$$
7. $$2\vec a-3\vec c=(6,-4,2)-(-9,6,3)=(15,-10,-1).$$
   Тогда
   $$|2\vec a-3\vec c|=\sqrt{15^2+(-10)^2+(-1)^2}=\sqrt{225+100+1}=\sqrt{326}.$$

Ответ: а) $$\sqrt6$$; б) $$2\sqrt{14}$$; в) $$0$$; г) $$5\sqrt2$$; д) $$3\sqrt{14}$$; е) $$14$$; ж) $$\sqrt{326}$$.