Упр.662 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Середина отрезка $$AB$$ лежит на оси $$Ox$$. Найдите $$m$$ и $$n$$, если:
а) $$A(-3;m;5),\ B(2;-2;n)$$;
б) $$A(1;0,5;-4),\ B(1;m;2n)$$;
в) $$A(0;m;n+1),\ B(1;n;-m+1)$$;
г) $$A(7;2m+n;-n),\ B(-5;-3;m-3)$$.

Пусть $$M$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда координаты середины выражаются формулой

$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right).$$

Так как середина отрезка лежит на оси $$Ox$$, то для точки $$M$$ выполняется $$y_M=0$$ и $$z_M=0$$.

1. $$A(-3;m;5),\quad B(2;-2;n).$$

   Из условия:

   $$\frac{m+(-2)}{2}=0,\qquad \frac{5+n}{2}=0.$$

   Отсюда

   $$m-2=0 \Rightarrow m=2,$$

   $$5+n=0 \Rightarrow n=-5.$$

2. $$A(1;0{,}5;-4),\quad B(1;m;2n).$$

   Из условия:

   $$\frac{0{,}5+m}{2}=0,\qquad \frac{-4+2n}{2}=0.$$

   Тогда

   $$0{,}5+m=0 \Rightarrow m=-0{,}5,$$

   $$-4+2n=0 \Rightarrow n=2.$$

3. $$A(0;m;n+1),\quad B(1;n;-m+1).$$

   Из условия:

   $$\frac{m+n}{2}=0,\qquad \frac{n+1+(-m+1)}{2}=0.$$

   Получаем систему:

   $$m+n=0,$$

   $$n-m+2=0.$$

   Из первого уравнения $$m=-n$$. Подставим во второе:

   $$n-(-n)+2=0 \Rightarrow 2n+2=0 \Rightarrow n=-1,$$

   $$m=1.$$

4. $$A(7;2m+n;-n),\quad B(-5;-3;m-3).$$

   Из условия:

   $$\frac{(2m+n)+(-3)}{2}=0,\qquad \frac{-n+(m-3)}{2}=0.$$

   Тогда

   $$2m+n-3=0,$$

   $$m-n-3=0.$$

   Из второго уравнения $$n=m-3$$. Подставим в первое:

   $$2m+(m-3)-3=0 \Rightarrow 3m-6=0 \Rightarrow m=2,$$

   $$n=2-3=-1.$$

Ответ: а) $$m=2,\ n=-5$$; б) $$m=-0{,}5,\ n=2$$; в) $$m=1,\ n=-1$$; г) $$m=2,\ n=-1$$.