Упр.661 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$. Найдите координаты: а) точки $$M$$, если $$A(0; 3; -4)$$, $$B(-2; 2; 0)$$; б) точки $$B$$, если $$A(14; -8; 5)$$, $$M(3; -2; -7)$$; в) точки $$A$$, если $$B(0; 0; 2)$$, $$M(-12; 4; 15)$$.

Воспользуемся формулой координат середины отрезка:

$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right).$$

Отсюда, если известны середина и одна из концов отрезка, то координаты другой точки находим по формулам:

$$x_B=2x_M-x_A,\quad y_B=2y_M-y_A,\quad z_B=2z_M-z_A,$$

$$x_A=2x_M-x_B,\quad y_A=2y_M-y_B,\quad z_A=2z_M-z_B.$$

а) Для точек $$A(0;3;-4)$$ и $$B(-2;2;0)$$:

$$M\left(\frac{0+(-2)}{2};\frac{3+2}{2};\frac{-4+0}{2}\right) = M(-1;2{,}5;-2).$$

б) Для точек $$A(14;-8;5)$$ и $$M(3;-2;-7)$$:

$$\begin{aligned} x_B&=2\cdot 3-14=-8,\\ y_B&=2\cdot(-2)-(-8)=4,\\ z_B&=2\cdot(-7)-5=-19. \end{aligned}$$

Значит, $$B(-8;4;-19).$$

в) Для точек $$B(0;0;2)$$ и $$M(-12;4;15)$$:

$$\begin{aligned} x_A&=2\cdot(-12)-0=-24,\\ y_A&=2\cdot 4-0=8,\\ z_A&=2\cdot 15-2=28. \end{aligned}$$

Значит, $$A(-24;8;28).$$

Ответ: а) $$M(-1;2{,}5;-2)$$; б) $$B(-8;4;-19)$$; в) $$A(-24;8;28)$$.