Упр.660 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинамиА (X1; ^1; Z1), B (х2; у2; z2), C (х3; у3; Z3) имеет координаты

Обозначим через $$M$$ точку пересечения медиан треугольника $$ABC$$. Пусть $$D$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда

$$D\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}\right).$$

Так как $$CM$$ — медиана, а $$M$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то на отрезке $$CD$$ имеем

$$\frac{CM}{MD}=2.$$

Рассмотрим это соотношение по координате $$x$$:

$$ \frac{x_3-x_m}{x_m-\frac{x_1+x_2}{2}}=2 $$

Отсюда

$$ x_3-x_m=2x_m-x_1-x_2 $$

$$ 3x_m=x_1+x_2+x_3 $$

$$ x_m=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}. $$

Аналогично получаем для остальных координат:

$$ y_m=\frac{y_1+y_2+y_3}{3},\qquad z_m=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}. $$

Следовательно, точка пересечения медиан треугольника имеет координаты

$$ M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3};\frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right). $$

Ответ

$$ M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3};\frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right) $$