Упр.660 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника \(ABC\) с вершинами $$A(x_1; y_1; z_1),\ B(x_2; y_2; z_2),\ C(x_3; y_3; z_3)$$ имеет координаты.

Пусть $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, а $$D$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда

$$D\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}\right).$$

Так как $$CD$$ — медиана, а $$M$$ — точка пересечения медиан, то на медиане $$CD$$ выполняется отношение

$$CM:MD=2:1.$$

Следовательно, точка $$M$$ делит отрезок $$CD$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$C$$. По формуле деления отрезка в данном отношении получаем:

$$x_m=\frac{1\cdot x_c+2\cdot \frac{x_1+x_2}{2}}{3} =\frac{x_1+x_2+x_3}{3},$$

$$y_m=\frac{1\cdot y_c+2\cdot \frac{y_1+y_2}{2}}{3} =\frac{y_1+y_2+y_3}{3},$$

$$z_m=\frac{1\cdot z_c+2\cdot \frac{z_1+z_2}{2}}{3} =\frac{z_1+z_2+z_3}{3}.$$

Значит, точка пересечения медиан треугольника имеет координаты

$$M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3};\frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right).$$

Ответ

$$M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3};\frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right).$$