Упр.659 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Лежат ли точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ в одной плоскости, если:
   а) $$A(-2;-13;3)$$, $$B(1;4;1)$$, $$C(-1;-1;-4)$$, $$D(0;0;0)$$;
   б) $$A(0;1;0)$$, $$B(3;4;-1)$$, $$C(-2;-3;0)$$, $$D(2;0;3)$$;
   в) $$A(5;-1;0)$$, $$B(-2;7;1)$$, $$C(12;-15;-7)$$, $$D(1;1;-2)$$?

Рассмотрим векторы $$\overrightarrow{DA},\ \overrightarrow{DB},\ \overrightarrow{DC}.$$ Точки $$A,B,C,D$$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны, то есть один из них выражается через два других.

а)

$$\overrightarrow{DA}=(-2;\,-13;\,3),\quad \overrightarrow{DB}=(1;\,4;\,1),\quad \overrightarrow{DC}=(-1;\,-1;\,-4).$$

Пусть $$\overrightarrow{DA}=m\overrightarrow{DB}+n\overrightarrow{DC}.$$ Тогда

$$\begin{cases} -2=m-n,\\ -13=4m-n,\\ 3=m-4n. \end{cases}$$

Из первых двух уравнений получаем $$m=-\frac{11}{3},\ n=-\frac{5}{3}.$$ Проверка третьего уравнения даёт:

$$3=-\frac{11}{3}-4\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)=3.$$

Следовательно, векторы компланарны, значит, точки $$A,B,C,D$$ лежат в одной плоскости.

б)

$$\overrightarrow{AB}=(3;\,3;\,-1),\quad \overrightarrow{AC}=(-2;\,-4;\,0),\quad \overrightarrow{AD}=(2;\,-1;\,3).$$

Пусть $$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}.$$ Тогда

$$\begin{cases} 2=3m-2n,\\ -1=3m-4n,\\ 3=-m. \end{cases}$$

Из третьего уравнения $$m=-3$$, тогда из первого:

$$2=-9-2n,\quad n=-\frac{11}{2}.$$

Проверим второе уравнение:

$$-1=3\cdot(-3)-4\cdot\left(-\frac{11}{2}\right)=-9+22=13,$$

что неверно. Значит, векторы не компланарны, и точки $$A,B,C,D$$ не лежат в одной плоскости.

в)

$$\overrightarrow{AB}=(-7;\,8;\,1),\quad \overrightarrow{AC}=(7;\,-14;\,-7),\quad \overrightarrow{AD}=(-4;\,2;\,-2).$$

Пусть $$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}.$$ Тогда

$$\begin{cases} -4=-7m+7n,\\ 2=8m-14n,\\ -2=m-7n. \end{cases}$$

Из третьего уравнения $$m=7n-2.$$ Подставим в первое:

$$-4=-7(7n-2)+7n=-49n+14+7n=-42n+14,$$

откуда $$n=\frac{3}{7}.$$ Тогда

$$m=7\cdot\frac{3}{7}-2=1.$$

Проверка второго уравнения:

$$2=8\cdot1-14\cdot\frac{3}{7}=8-6=2.$$

Следовательно, векторы компланарны, значит, точки $$A,B,C,D$$ лежат в одной плоскости.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.