Упр.659 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Лежат ли точки А, В, C и D в одной плоскости, если: а) A (-2; -13; 3), B (1; 4; 1), C (-1; -1; -4), D (0; 0; 0); б) A (0; 1; 0), B (3; 4; -1), C (-2; -3; 0), D (2; 0; 3); в) A (5; -1; 0), B (-2; 7; 1), C (12; -15; -7), D (1; 1; -2)?

Точки $$A, B, C, D$$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}$$ компланарны, то есть один из них выражается через два других:

$$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}.$$

Проверим это для каждого пункта.

а) $$A(-2;\,-13;\,3),\ B(1;\,4;\,1),\ C(-1;\,-1;\,-4),\ D(0;\,0;\,0).$$

Возьмём векторы с началом в точке $$D$$:

$$\overrightarrow{DA}=(-2;\,-13;\,3),\quad \overrightarrow{DB}=(1;\,4;\,1),\quad \overrightarrow{DC}=(-1;\,-1;\,-4).$$

Пусть $$\overrightarrow{DA}=m\overrightarrow{DB}+n\overrightarrow{DC}.$$ Тогда

$$ \begin{cases} -2=m-n,\\ -13=4m-n,\\ 3=m-4n. \end{cases} $$

Из первых двух уравнений получаем $$m=-\dfrac{11}{3},\ n=-\dfrac{5}{3}.$$ Проверка в третьем уравнении даёт:

$$3=-\frac{11}{3}-4\left(-\frac{5}{3}\right)=3.$$

Следовательно, векторы компланарны, значит, точки $$A, B, C, D$$ лежат в одной плоскости.

б) $$A(0;\,1;\,0),\ B(3;\,4;\,-1),\ C(-2;\,-3;\,0),\ D(2;\,0;\,3).$$

Найдём векторы:

$$\overrightarrow{AB}=(3;\,3;\,-1),\quad \overrightarrow{AC}=(-2;\,-4;\,0),\quad \overrightarrow{AD}=(2;\,-1;\,3).$$

Пусть $$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}.$$ Тогда

$$ \begin{cases} 3=-2m+2n,\\ 3=-4m-n,\\ -1=3n. \end{cases} $$

Из третьего уравнения $$n=-\dfrac{1}{3}$$, тогда из второго $$3=-4m+\dfrac{1}{3}$$, откуда $$m=-\dfrac{2}{3}.$$ Подстановка в первое уравнение даёт

$$3=-2\left(-\frac{2}{3}\right)+2\left(-\frac{1}{3}\right)=2,$$

что неверно. Значит, система не имеет решения, и векторы не компланарны.

Следовательно, точки $$A, B, C, D$$ не лежат в одной плоскости.

в) $$A(5;\,-1;\,0),\ B(-2;\,7;\,1),\ C(12;\,-15;\,-7),\ D(1;\,1;\,-2).$$

Вычислим векторы:

$$\overrightarrow{AB}=(-7;\,8;\,1),\quad \overrightarrow{AC}=(7;\,-14;\,-7),\quad \overrightarrow{AD}=(-4;\,2;\,-2).$$

Пусть $$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}.$$ Тогда

$$ \begin{cases} -7=7m-4n,\\ 8=-14m+2n,\\ 1=-7m-2n. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$4=-7m+n,$$ то есть $$n=4+7m.$$ Подставим в первое:

$$-7=7m-4(4+7m)=7m-16-28m=-21m-16,$$

откуда $$m=-\dfrac{3}{7}.$$ Тогда

$$n=4+7\left(-\frac{3}{7}\right)=1.$$

Проверка в третьем уравнении:

$$1=-7\left(-\frac{3}{7}\right)-2\cdot 1=3-2=1.$$

Значит, векторы компланарны, и точки $$A, B, C, D$$ лежат в одной плоскости.

Ответ

а) лежат в одной плоскости; б) не лежат в одной плоскости; в) лежат в одной плоскости.