Упр.658 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Лежат ли точки А, B и C на одной прямой, если: а) A (3; -7; 8), B (-5; 4; 1), C (27; -40; 29); б) A (-5; 7; 12), B (4; -8; 3), C (13; -23; -6); в) A (-4; 8; -2), B (-3; -1; 7), C (-2; -10; -16)? Решение а) Если векторы AB и AC коллинеарны, то точки А, B и C лежат на одной прямой, а если не коллинеарны, то точки А, B и C не лежат на одной прямой. Найдем координаты этих векторов: AB{-8;ll;-7}, AC{24;-33;21}. Очевидно, AC = -3AB, поэтому векторы AB и AC коллинеарны, и, следовательно, точки А, B и C лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ коллинеарны, то есть их соответствующие координаты пропорциональны.

а) Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=( -5-3;\ 4-(-7);\ 1-8)=(-8;\ 11;\ -7),$$
$$\overrightarrow{AC}=(27-3;\ -40-(-7);\ 29-8)=(24;\ -33;\ 21).$$

Проверим пропорциональность координат:

$$\frac{24}{-8}=\frac{-33}{11}=\frac{21}{-7}=-3.$$

Следовательно, $$\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{AB}$$, значит, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ коллинеарны. Поэтому точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой.

б) Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=(4-(-5);\ -8-7;\ 3-12)=(9;\ -15;\ -9),$$
$$\overrightarrow{AC}=(13-(-5);\ -23-7;\ -6-12)=(18;\ -30;\ -18).$$

Проверим пропорциональность:

$$\frac{18}{9}=\frac{-30}{-15}=\frac{-18}{-9}=2.$$

Следовательно, $$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$$, значит, точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой.

в) Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=(-3-(-4);\ -1-8;\ 7-(-2))=(1;\ -9;\ 9),$$
$$\overrightarrow{AC}=(-2-(-4);\ -10-8;\ -16-(-2))=(2;\ -18;\ -14).$$

Проверим пропорциональность:

$$\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{-18}{-9}=2,\qquad \frac{-14}{9}\ne 2.$$

Координаты векторов не пропорциональны, значит, $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ не коллинеарны. Следовательно, точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ не лежат на одной прямой.