Упр.658 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Лежат ли точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ на одной прямой, если:

а) $$A(3;-7;8)$$, $$B(-5;4;1)$$, $$C(27;-40;29)$$;

б) $$A(-5;7;12)$$, $$B(4;-8;3)$$, $$C(13;-23;-6)$$;

в) $$A(-4;8;-2)$$, $$B(-3;-1;7)$$, $$C(-2;-10;-16)$$?

Чтобы выяснить, лежат ли точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ на одной прямой, достаточно проверить, коллинеарны ли векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$. Если эти векторы коллинеарны, то точки лежат на одной прямой.

а)

$$\overrightarrow{AB}=( -5-3;\ 4-(-7);\ 1-8)=(-8;\ 11;\ -7),$$
$$\overrightarrow{AC}=(27-3;\ -40-(-7);\ 29-8)=(24;\ -33;\ 21).$$

Видно, что
$$\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{AB}.$$
Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ коллинеарны, значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

б)

$$\overrightarrow{AB}=(4-(-5);\ -8-7;\ 3-12)=(9;\ -15;\ -9),$$
$$\overrightarrow{AC}=(13-(-5);\ -23-7;\ -6-12)=(18;\ -30;\ -18).$$

Имеем
$$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}.$$
Значит, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ коллинеарны, поэтому точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

в)

$$\overrightarrow{AB}=(-3-(-4);\ -1-8;\ 7-(-2))=(1;\ -9;\ 9),$$
$$\overrightarrow{AC}=(-2-(-4);\ -10-8;\ -16-(-2))=(2;\ -18;\ -14).$$

Числа $$1$$ и $$2$$, $$-9$$ и $$-18$$ пропорциональны, а $$9$$ и $$-14$$ — нет. Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ не коллинеарны, значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не лежат на одной прямой.

Ответ: а) да; б) да; в) нет.