Упр.652 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Компланарны ли векторы: а) $$a\{-3; -3; 0\}$$, $$i$$ и $$j$$; б) $$b\{2; 0; -3\}$$, $$i$$ и $$j$$; в) $$c\{1; 0; -2\}$$, $$i$$ и $$k$$; г) $$d\{1; -1; 2\}$$, $$e\{-2; 0; 1\}$$ и $$f\{5; -1; 0\}$$; д) $$m\{1; 0; 2\}$$, $$n\{1; 1; -1\}$$ и $$p\{-1; 2; 4\}$$; е) $$q\{0; 5; 3\}$$, $$r\{3; 3; 3\}$$ и $$s\{1; 1; 4\}$$?

Компланарность трёх векторов $$\vec a,\vec b,\vec c$$ означает, что существуют числа $$m$$ и $$n$$ такие, что

$$\vec a=m\vec b+n\vec c.$$

Тогда в координатах получается система, которая должна иметь решение.

1. $$\vec a=(-3;\,-3;\,0),\ \vec i=(1;\,0;\,0),\ \vec j=(0;\,1;\,0).$$

   Вектор $$\vec a=-3\vec i-3\vec j,$$ значит, векторы компланарны.

2. $$\vec b=(2;\,0;\,-3),\ \vec i=(1;\,0;\,0),\ \vec j=(0;\,1;\,0).$$

   Если бы $$\vec b=m\vec i+n\vec j,$$ то третья координата должна была бы быть равна $$0,$$ а у вектора $$\vec b$$ она равна $$-3.$$ Следовательно, векторы не компланарны.

3. $$\vec c=(1;\,0;\,-2),\ \vec i=(1;\,0;\,0),\ \vec k=(0;\,0;\,1).$$

   Имеем $$\vec c=\vec i-2\vec k,$$ значит, векторы компланарны.

4. $$\vec d=(1;\,-1;\,2),\ \vec e=(-2;\,0;\,1),\ \vec f=(5;\,-1;\,0).$$

   Проверим, можно ли разложить $$\vec f$$ по векторам $$\vec d$$ и $$\vec e$$:

   $$\vec f=x\vec d+y\vec e.$$

   Тогда

   $$\begin{cases} x-2y=5,\\ -x=-1,\\ 2x+y=0. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$x=1,$$ из третьего $$y=-2.$$ Подстановка в первое даёт $$1-2(-2)=5,$$ значит, система имеет решение. Следовательно, векторы $$\vec d,\vec e,\vec f$$ компланарны.

5. $$\vec m=(1;\,0;\,2),\ \vec n=(1;\,1;\,-1),\ \vec p=(-1;\,2;\,4).$$

   Пусть $$\vec p=x\vec m+y\vec n.$$ Тогда

   $$\begin{cases} x+y=-1,\\ y=2,\\ 2x-y=4. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=2,$$ тогда из первого $$x=-3.$$ Но в третьем уравнении получаем $$2\cdot(-3)-2=-8\neq 4.$$ Система не имеет решения, значит, векторы не компланарны.

6. $$\vec q=(0;\,5;\,3),\ \vec r=(3;\,3;\,3),\ \vec s=(1;\,1;\,4).$$

   Пусть $$\vec q=x\vec r+y\vec s.$$ Тогда

   $$\begin{cases} 3x+y=0,\\ 3x+y=5,\\ 3x+4y=3. \end{cases}$$

   Первые два уравнения противоречат друг другу, значит, решения нет. Следовательно, векторы не компланарны.

Ответ: а) компланарны; б) не компланарны; в) компланарны; г) компланарны; д) не компланарны; е) не компланарны.