Упр.65 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- а) Определите вид четырёхугольников $$A_1B_1B_2A_2$$, $$B_1C_1C_2B_2$$ и $$A_1C_1C_2A_2$$.
б) Докажите, что $$\angle A_1B_1C_1=\angle A_2B_2C_2$$.
Так как через две параллельные прямые $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$ проходит плоскость, обозначим её $$\gamma$$. Тогда плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$A_1C_1$$ и $$A_2C_2$$, причём
$$A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$
Аналогично, плоскость $$\gamma$$ пересекает плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2$$, поэтому
$$A_1B_1 \parallel A_2B_2.$$
Кроме того, по условию
$$A_1A_2 \parallel B_1B_2 \parallel C_1C_2.$$
Следовательно, в четырёхугольниках $$A_1B_1B_2A_2$$, $$B_1C_1C_2B_2$$ и $$A_1C_1C_2A_2$$ обе пары противоположных сторон попарно параллельны. Значит, все они являются параллелограммами.
Теперь докажем равенство треугольников $$\triangle A_1B_1C_1$$ и $$\triangle A_2B_2C_2$$.
Из свойств параллелограммов получаем:
$$A_1B_1=A_2B_2,$$
$$B_1C_1=B_2C_2,$$
$$A_1C_1=A_2C_2.$$
Значит, треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ равны по трём сторонам.
Ответ: а) все три четырёхугольника — параллелограммы; б) $$\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle A_2B_2C_2$$.
