Упр.648 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны векторы $$\mathbf a=(-1;1;1)$$, $$\mathbf b=(0;2;-2)$$, $$\mathbf c=(-3;2;0)$$ и $$\mathbf d=(-2;1;-2)$$. Найдите координаты векторов:

а) $$3\mathbf a+2\mathbf b-\mathbf c$$;

б) $$-\mathbf a+2\mathbf c-\mathbf d$$;

в) $$0{,}1\mathbf a+3\mathbf b+0{,}7\mathbf c-5\mathbf d$$;

г) $$(2\mathbf a+3\mathbf b)-(\mathbf a-2\mathbf b)+2(\mathbf a-\mathbf b)$$.

Вычислим координаты векторов по правилу сложения и умножения векторов на число.

1. $$3\vec a+2\vec b-\vec c$$

   $$3\vec a=(3\cdot(-1);\,3\cdot1;\,3\cdot1)=(-3;\,3;\,3)$$
   $$2\vec b=(2\cdot0;\,2\cdot2;\,2\cdot(-2))=(0;\,4;\,-4)$$
   $$3\vec a+2\vec b-\vec c=(-3;\,3;\,3)+(0;\,4;\,-4)-(-3;\,2;\,0)=(0;\,5;\,-1)$$

2. $$-\vec a+2\vec c-\vec d$$

   $$-\vec a=(1;\,-1;\,-1),\qquad 2\vec c=(2\cdot(-3);\,2\cdot2;\,2\cdot0)=(-6;\,4;\,0)$$
   $$-\vec a+2\vec c-\vec d=(1;\,-1;\,-1)+(-6;\,4;\,0)-(-2;\,1;\,-2)=(-3;\,2;\,1)$$

3. $$0{,}1\vec a+3\vec b+0{,}7\vec c-5\vec d$$

   $$0{,}1\vec a=(-0{,}1;\,0{,}1;\,0{,}1),\qquad 3\vec b=(0;\,6;\,-6)$$
   $$0{,}7\vec c=(-2{,}1;\,1{,}4;\,0),\qquad -5\vec d=(10;\,-5;\,10)$$
   $$0{,}1\vec a+3\vec b+0{,}7\vec c-5\vec d=(7{,}8;\,2{,}5;\,4{,}1)$$

4. $$\left(2\vec a+3\vec b\right)-\left(\vec a-2\vec b\right)+2\left(\vec a-\vec b\right)$$

   $$2\vec a+3\vec b=(-2;\,2;\,2)+(0;\,6;\,-6)=(-2;\,8;\,-4)$$
   $$\vec a-2\vec b=(-1;\,1;\,1)-(0;\,4;\,-4)=(-1;\,-3;\,5)$$
   $$2(\vec a-\vec b)=2\bigl((-1;\,1;\,1)-(0;\,2;\,-2)\bigr)=2(-1;\,-1;\,3)=(-2;\,-2;\,6)$$
   $$(-2;\,8;\,-4)-(-1;\,-3;\,5)+(-2;\,-2;\,6)=(-3;\,9;\,-3)$$

Ответ: а) $$\{0;\,5;\,-1\}$$; б) $$\{-3;\,2;\,1\}$$; в) $$\{7{,}8;\,2{,}5;\,4{,}1\}$$; г) $$\{-3;\,9;\,-3\}$$.