Упр.645 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: По данным рисунка 132 найдите координаты векторов AC, CB, AB, MN, NP, BM, ОМ, OP, если OA = 4, OB = 9, OC = 2, а M, N и P — середины отрезков AC, OC и CB.

По рисунку координаты точек таковы: $$A(4;0;0),\quad B(0;9;0),\quad C(0;0;2),\quad O(0;0;0).$$

Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала:

$$\overrightarrow{XY}=(x_Y-x_X;\ y_Y-y_X;\ z_Y-z_X).$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC}=(0-4;\ 0-0;\ 2-0)=(-4;\ 0;\ 2),$$

$$\overrightarrow{CB}=(0-0;\ 9-0;\ 0-2)=(0;\ 9;\ -2),$$

$$\overrightarrow{AB}=(0-4;\ 9-0;\ 0-0)=(-4;\ 9;\ 0).$$

Так как $$M$$ — середина отрезка $$AC$$, $$N$$ — середина отрезка $$OC$$, $$P$$ — середина отрезка $$CB$$, найдём их координаты:

$$M\left(\frac{4+0}{2};\ \frac{0+0}{2};\ \frac{0+2}{2}\right)=(2;\ 0;\ 1),$$

$$N\left(\frac{0+0}{2};\ \frac{0+0}{2};\ \frac{0+2}{2}\right)=(0;\ 0;\ 1),$$

$$P\left(\frac{0+0}{2};\ \frac{9+0}{2};\ \frac{0+2}{2}\right)=\left(0;\ \frac{9}{2};\ 1\right).$$

Теперь находим искомые векторы:

$$\overrightarrow{MN}=(0-2;\ 0-0;\ 1-1)=(-2;\ 0;\ 0),$$

$$\overrightarrow{NP}=\left(0-0;\ \frac{9}{2}-0;\ 1-1\right)=\left(0;\ \frac{9}{2};\ 0\right),$$

$$\overrightarrow{BM}=(2-0;\ 0-9;\ 1-0)=(2;\ -9;\ 1),$$

$$\overrightarrow{OM}=(2-0;\ 0-0;\ 1-0)=(2;\ 0;\ 1),$$

$$\overrightarrow{OP}=\left(0-0;\ \frac{9}{2}-0;\ 1-0\right)=\left(0;\ \frac{9}{2};\ 1\right).$$

Ответ

$$\overrightarrow{AC}=(-4;\ 0;\ 2),\ \overrightarrow{CB}=(0;\ 9;\ -2),\ \overrightarrow{AB}=(-4;\ 9;\ 0),\ \overrightarrow{MN}=(-2;\ 0;\ 0),\ \overrightarrow{NP}=\left(0;\ \frac{9}{2};\ 0\right),\ \overrightarrow{BM}=(2;\ -9;\ 1),\ \overrightarrow{OM}=(2;\ 0;\ 1),\ \overrightarrow{OP}=\left(0;\ \frac{9}{2};\ 1\right).$$