Упр.643 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
Пусть $$\vec a=\{x_a;\,y_a;\,z_a\},\qquad \vec b=\{x_b;\,y_b;\,z_b\}.$$
Докажем сначала утверждение для суммы векторов.
Перенесём вектор $$\vec a$$ параллельным переносом так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда его конец попадёт в точку $$A(x_a;\,y_a;\,z_a).$$
Теперь к точке $$A$$ приложим вектор $$\vec b$$. Конец полученного вектора суммы окажется в точке $$C(x_a+x_b;\,y_a+y_b;\,z_a+z_b),$$ потому что к координатам точки $$A$$ прибавляются соответствующие координаты вектора $$\vec b.$$ Следовательно,
$$\vec a+\vec b=\{x_a+x_b;\,y_a+y_b;\,z_a+z_b\}.$$
Значит, каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Для разности используем равенство
$$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b).$$
У противоположного вектора координаты противоположны:
$$-\vec b=\{-x_b;\,-y_b;\,-z_b\}.$$
Тогда
$$\vec a-\vec b=\{x_a-x_b;\,y_a-y_b;\,z_a-z_b\}.$$
Следовательно, каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Ответ: $$\vec a+\vec b=\{x_a+x_b;\,y_a+y_b;\,z_a+z_b\},\qquad \vec a-\vec b=\{x_a-x_b;\,y_a-y_b;\,z_a-z_b\}.$$
