Упр.64 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках A1, B1 и C1, а другую — в точках A2, B2 и C2. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.
Обозначим через $$\gamma$$ плоскость, проходящую через две пересекающиеся прямые $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$. Тогда точка $$O=A_1A_2\cap C_1C_2$$ лежит в плоскости $$\gamma$$.
Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны и пересечены плоскостью $$\gamma$$, значит линии их пересечения с плоскостью $$\gamma$$ параллельны:
$$A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$
Рассмотрим треугольники $$\triangle OA_1C_1$$ и $$\triangle OA_2C_2$$. У них
$$\angle OA_1C_1=\angle OA_2C_2$$
как вертикальные, а
$$\angle OC_1A_1=\angle OC_2A_2$$
как накрест лежащие при $$A_1C_1 \parallel A_2C_2$$ и секущей $$C_1C_2$$.
Следовательно,
$$\triangle OA_1C_1 \sim \triangle OA_2C_2,$$
откуда
$$\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{OA_1}{OA_2}=\frac{OC_1}{OC_2}. \qquad (*)$$
Аналогично докажем подобие треугольников $$\triangle OA_1B_1$$ и $$\triangle OA_2B_2$$:
$$\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_2B_2,$$
поэтому
$$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{OA_1}{OA_2}=\frac{OB_1}{OB_2}. \qquad (** )$$
И, наконец, треугольники $$\triangle OB_1C_1$$ и $$\triangle OB_2C_2$$ также подобны:
$$\triangle OB_1C_1 \sim \triangle OB_2C_2,$$
следовательно,
$$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{OB_1}{OB_2}=\frac{OC_1}{OC_2}. \qquad (***)$$
Из $$(*), (**)$$ и $$(***)$$ получаем:
$$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}.$$
Значит, соответствующие стороны треугольников $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ пропорциональны, поэтому
$$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2.$$
Ответ
$$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2.$$