Упр.64 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$, а другую — в точках $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$. Докажите, что треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ подобны.

Так как через две пересекающиеся прямые $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$ проходит плоскость, то через прямые $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$ проходит одна плоскость, обозначим её $$\gamma$$.

Рассмотрим плоскость $$\gamma$$. Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, а значит, их линии пересечения с плоскостью $$\gamma$$ параллельны:

$$A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$

Тогда треугольники $$\triangle A_1OC_1$$ и $$\triangle A_2OC_2$$ подобны по двум углам:

$$\angle A_1OC_1=\angle A_2OC_2$$ — вертикальные,

$$\angle OC_1A_1=\angle OC_2A_2$$ — накрест лежащие при $$A_1C_1 \parallel A_2C_2$$ и секущей $$C_1C_2$$.

Следовательно,

$$\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{OC_1}{OC_2}=\frac{A_1O}{A_2O} \qquad (1)$$

Аналогично докажем, что

$$\triangle A_1OB_1 \sim \triangle A_2OB_2,$$

откуда

$$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{OB_1}{OB_2}=\frac{A_1O}{A_2O} \qquad (2)$$

и

$$\triangle B_1OC_1 \sim \triangle B_2OC_2,$$

поэтому

$$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{OC_1}{OC_2}=\frac{B_1O}{B_2O} \qquad (3)$$

Из равенств (1), (2), (3) получаем:

$$\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=k.$$

Значит, соответствующие стороны треугольников пропорциональны, следовательно,

$$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2.$$

Ответ: $$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2$$.