Упр.636 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.

Подробный ответ

Пусть $$M,$$ $$N$$ и $$K$$ — точки пересечения медиан боковых граней $$ADC,$$ $$BCD$$ и $$ADB$$ соответственно.

Из результата задачи 397 имеем:

$$\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}, \qquad \frac{MK}{BC}=\frac{1}{3}, \qquad \frac{KN}{AC}=\frac{1}{3}.$$

Следовательно,

$$\frac{MN}{AB}=\frac{MK}{BC}=\frac{KN}{AC}=\frac{1}{3}.$$

Значит, соответствующие стороны треугольников $$MNK$$ и $$ABC$$ пропорциональны, поэтому

$$\triangle MNK \sim \triangle ABC$$

по трём сторонам. Коэффициент подобия равен $$\frac{1}{3}$$, то есть треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.