Упр.636 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.

Пусть $$M,$$ $$N$$ и $$K$$ — точки пересечения медиан боковых граней $$ADC,$$ $$BCD$$ и $$ADB$$ соответственно.

Из результата задачи 397 имеем:

$$\frac{MN}{AB}=\frac13,\qquad \frac{MK}{BC}=\frac13,\qquad \frac{KN}{AC}=\frac13.$$

Следовательно,

$$\frac{MN}{AB}=\frac{MK}{BC}=\frac{KN}{AC}.$$

Значит, треугольники $$MKN$$ и $$ABC$$ подобны по трём сторонам, причём коэффициент подобия равен $$\frac13$$.

Итак, треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.

Ответ

$$\triangle MKN \sim \triangle ABC,\quad k=\frac13.$$