Упр.635 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Треугольники $$ABC$$, $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ расположены так, что точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ являются серединами отрезков $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$, $$C_1C_2$$ соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников $$ABC$$, $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Пусть $$M,\ M_1,\ M_2$$ — точки пересечения медиан треугольников $$ABC,$$ $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ соответственно.

Возьмём произвольную точку $$O$$ пространства и рассмотрим радиус-векторы с началом в $$O$$. Для центра тяжести треугольника известно, что

$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right),$$

$$\overrightarrow{OM_1}=\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}\right),\qquad \overrightarrow{OM_2}=\frac13\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OB_2}+\overrightarrow{OC_2}\right).$$

Так как точки $$A,\ B,\ C$$ являются серединами отрезков $$A_1A_2,\ B_1B_2,\ C_1C_2,$$ то

$$\overrightarrow{OA}=\frac12\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}\right),\qquad \overrightarrow{OB}=\frac12\left(\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OB_2}\right),\qquad \overrightarrow{OC}=\frac12\left(\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OC_2}\right).$$

Сложим выражения для $$\overrightarrow{OM_1}$$ и $$\overrightarrow{OM_2}$$:

$$\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2} =\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OB_2}+\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OC_2}\right).$$

С другой стороны,

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} =\frac12\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OB_2}+\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OC_2}\right),$$

значит

$$\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2} =\frac23\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$

Но для точки $$M$$ имеем

$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right),$$

следовательно,

$$\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}=2\overrightarrow{OM}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{MM_1}+\overrightarrow{MM_2} =\left(\overrightarrow{OM_1}-\overrightarrow{OM}\right)+\left(\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM}\right) =\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}-2\overrightarrow{OM} =\overrightarrow{0}.$$

Значит, векторы $$\overrightarrow{MM_1}$$ и $$\overrightarrow{MM_2}$$ противоположны, то есть коллинеарны. Следовательно, точки $$M,\ M_1,\ M_2$$ лежат на одной прямой.